Luis Alvarez - Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Паскаль нашел значение для четвертой попытки: то, каким должен быть справедливый способ распределения выигрыша после трех неудачных попыток, предполагая, что оба игрока рассматривают альтернативу остановить игру или бросить кости в четвертый раз. Следует отметить, что здесь речь идет не об оригинальной задаче Гомбо; она ограничивается только одним броском после трех неудачных. Паскаль нашел, что если не осуществлять бросок, то игрок, который бросает кости, должен получить 125/1296 от исходной ставки (около 10%) — результат сложения всех вероятностей того, что он мог выиграть при первом броске, при втором и при третьем, то есть в прошлом. В соответствии с этим игрок, который бросает кости, имеет право примерно на 10% ставки.

Но Ферма заявил, что он неправ: "Если мой оппонент предложит мне 10%, чтобы я больше не бросал кости, было бы ошибкой соглашаться на них". Вероятность получения шестерки за еще один бросок та же самая, что и при любом другом броске: 1/6, около 17%. Паскаль увидел свою ошибку и согласился с решением Ферма: прошлое не важно. Единственное, что имеет значение для вычисления вероятности,— это будущее.

Но далее Паскаль озвучил несколько сомнений. Во-первых, он попытался упростить проблему, сведя ее к игре с монетами (орел или решка) так, чтобы шансы были равны для обоих игроков. На основе этого, воспользовавшись рекурсивным методом, алгебра которого довольно сложна, он предложил решение полной проблемы. Здесь он рассматривал уже не только четвертый бросок, но также и оставшиеся возможности: выигрыш участника на пятом, шестом, седьмом или восьмом броске или проигрыш после всех них.

Ферма ответил, что анализ Паскаля верен, но предложил намного более простой метод. Вместо сложного алгебраического ответа Паскаля тулузец просто осуществил пересчет возможных случаев и выбрал среди них благоприятные. Однако на основе невероятной догадки (поскольку ни он, ни Паскаль не делали никаких эмпирических усилий для подтверждения своих результатов) он сделал нечто очень любопытное: Ферма не остановился на ситуации выигрыша бросающего, а рассмотрел случаи, когда он выиграет на бросках с пятого по седьмой, если партия продолжится.

Согласно Ферма, нужно было рассмотреть все эти случаи, чтобы правильно вычислить вероятность. Только таким образом можно быть уверенным в том, что правильно вычислены все возможные и все благоприятные случаи. Он был прав, но ни Паскаль, ни многие из тех, кому стало известно это рассуждение (в частности, Роберваль), сначала не понимал его. Почему нужно продолжать игру, когда один из игроков уже выиграл? Было абсурдным рассматривать данные случаи, поскольку в настоящей игре действие останавливается, как только кто-то выигрывает, так же как останавливается партия в теннис, когда один из спортсменов выигрывает три из пяти сетов. "Это правда,— комментировал Паскаль в своем ответе,— что два человека могут продолжать игру после того, как один из них выиграл, и что, по логике, остальные броски не изменят результат. Но что произойдет, если их будет три или больше?"

Представим себе, что есть три человека, у которых равная вероятность выигрыша. Если один из них выиграл, скажем, с четвертой попытки, ему невыгодно продолжать игру, поскольку другой сможет сыграть с ним вничью. Такого не происходит с двумя игроками, но может произойти с тремя или более. Паскаль спросил у Ферма: "Как же тогда можно утверждать, что нужно учитывать все случаи до завершения всех восьми бросков?" Не рассматривал ли Ферма не очень реалистичный пример?

Хотя Паскаль и не открыл этот треугольник, зато он был первым на Западе, кто глубоко исследовал его. До него индийские, персидские, китайские и западные математики изучали некоторые аспекты этой любопытной структуры. Самое элементарное свойство треугольника в том, что каждое составляющее его число равно сумме двух чисел, расположенных над ним. Из такого простого свойства вытекает огромное количество результатов.

Например, двучлен, возведенный в степень η - 1, будет иметь для каждого из его членов коэффициенты, соответствующие ряду треугольника, определяемого п. Так:

(a + b) 0= 1

(a + b) 1= 1 · а + 1 · b

(a + b) 2= 1 · а 2+ 2ab + 1 · b 2

(a + b) 3= 1 · а 3+ 3a 2b + 3ab 2+ 1 · b 2