Ирина Краева - Квадратные уравнения. Часть 1

Числа a , b , c называют так:

a – старшим или первым коэффициентом,

b – вторым,

c – свободным или третьим 1 1 В одной переводной книжке середины двадцатого века мы нашли ещё одно название для коэффициента c – «абсолютный». .

«Нумерация» коэффициентов зависит не от их реального месторасположения, а от того, при какой степени неизвестной они находятся. Например, число 2 будет первым коэффициентом в любом из трёх уравнений:

А вот число 5 в третьем уравнении является свободным коэффициентом, а в первом уравнении – вторым коэффициентом.

То есть первый (старший) коэффициент – это множитель при квадрате неизвестной, второй – при первой степени. Свободный (третий) коэффициент – это слагаемое без неизвестной, то есть «свободный от неизвестной».

Очевидно, что в качестве неизвестного необязательно брать букву x . Более того, привыкнув за школьные годы к этому неизменному обозначению, среднестатистический ученик начинает испытывать затруднения в восприятии (узнавании, интерпретации) квадратных уравнений, встречающихся при решении более сложных математических (физических и других) задач.

Собственно говоря, и коэффициенты квадратного уравнения не всегда могут обозначаться указанными выше буквами. Одним словом, квадратное уравнение имеет вполне определённую структуру, а как обозначаются элементы этой структуры – дело десятое. Человек со сложившимся математическим стилем мышления понимает, что квадратным уравнением будет являться любое равенство, в правой части которого стоит ноль, а в левой – сумма трёх слагаемых, одно из которых является произвольным числом, другое – произведением произвольного числа на первую степень неизвестного и третье – произведением ненулевого числа на вторую степень неизвестного.

Тогда квадратными будут уравнения:

mx 2 + nx + k = 0 (относительно x, m ≠ 0),

xa 2 + ya + z = 0 (относительно a, x ≠ 0).

Уравнение y 2 + xy + x 2 = 0 можно рассматривать как квадратное, но только либо относительно x , либо только относительно y .

Пока же договоримся, что теоретические вопросы будем излагать на привычных обозначениях.

Вернёмся к определению. Давайте выделим внешние, «бросающиеся в глаза», черты квадратного уравнения. Во-первых, наличие знака равенства. Отсутствие его с очевидностью снимает вопрос о правомерности называть объект уравнением.

(Любое ли равенство является уравнением – разговор особый и не в рамках этой книги.)

Во-вторых, левая часть нашего равенства представляет собой алгебраическую сумму трёх слагаемых.

Возникает первый вопрос: обязательно трёх?

Другими словами количество слагаемых – это определяющий признак или нет? Давайте посмотрим.

Значения второго и свободного коэффициентов квадратного уравнения в определении никак не ограничиваются (в отличие от первого). Следовательно, они могут быть равными нулю. Тогда под определение квадратного подходят уравнения вида

ax 2 + bx = 0 ( c = 0, ab ≠ 0),

ax 2 + c = 0 ( b = 0, ac ≠ 0),

ax 2 = 0 ( b = c = 0, a ≠ 0).

Но в левых частях этих уравнениях не три слагаемых!

Тем не менее, это – квадратные уравнения, потому что их можно записать так

ax 2 + bx +0 = 0,

ax 2 + 0 · x + c = 0,

ax 2 +0 · x + 0 = 0.

Так как количество слагаемых левой части уравнений ax 2 + bx = 0, ax 2 + c = 0, ax 2 = 0 визуально меньше, чем может быть, их называют неполными квадратными уравнениями. Тогда как квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, в котором все коэффициенты отличны от нуля, называют полным.

Таким образом, отсутствие в записи конкретного уравнения свободного члена или слагаемого с первой степенью неизвестного не даёт нам права сомневаться в том, что уравнение всё-таки квадратное. Однако и наличие их не является веской причиной отнести уравнение к квадратным. Об этом чуть ниже.