Павел Полуэктов - Озадачник - 133 вопроса на знание логики, математики и физики

Артиллерийский расчет после долгих вычислений и пристреливаний производит залп по намеченной цели, в которую на сей раз они – уж будьте покойны, ваше благородие! – совершенно точно попадут. Расстояние до цели L , снаряд стартует под углом 45° к поверхности земли – «Готовьсь. Цельсь. Пли!». Но вот же незадача: в самой верхней точке своей траектории снаряд разрывается ровно надвое, причем одна половина стремительно, строго вертикально идет к земле, а вторая продолжает полет в том же направлении, что и раньше, т. е. параллельно поверхности земли. Удастся ли этой второй, более удачливой половине поразить цель и куда вообще она упадет?

1. Нетрудно посчитать, что она перелетит цель и упадет на расстоянии 3/2 L от орудия.

2. А у задачи вообще есть решение?

3. Поскольку импульс снаряда после разделения на две части не поменялся, то не изменится и траектория – упадет туда, куда и было задумано.

Формально, решение элементарно: импульс снаряда перед разрывом и после один и тот же (обозначим его p 0), при этом речь о наивысшей точке – т. е. направление импульса в этот момент параллельно поверхности земли. Одна половинка полетела строго вниз, значит, импульса вдоль поверхности земли у нее вообще нет – по закону сохранения импульса он весь остался на второй половинке, полетевшей горизонтально. Импульс у нее p 0, масса вдвое меньше первоначальной – соответственно, скорость вдвое выше, чем была. Время спуска у нее такое же, как у неразорвавшегося снаряда (определяется предельной высотой и ускорением свободного падения g , – получается, пролетит она вдвое дальше. То есть в составе снаряда пролетела L /2, а отдельно пролетит еще 2 × L /2 – всего, выходит, 3/2 L .

Но обратите внимание на условие: «одна половина стремительно, строго вертикально идет к земле» – следовательно, у первой половины снаряда появляется вертикальная компонента импульса. А у второй – нет (продолжает лететь параллельно земле). Притом что до разрыва они летели вровень с землей, значит, если одна помчалась вниз, другая с неизбежностью должна подскочить вверх – иначе никакой закон сохранения импульса не выполняется. В результате имеем некорректно поставленную задачу, без решения.

В магазине – акция: «Купи две вещи, получи третью в подарок!», и мелким шрифтом приписано: «В подарок по акции предназначена вещь наименьшей стоимости из трех». Уже на кассе жена меня спрашивает:

– А что нам делать, если вещей у нас шесть? Пробивать в два чека? А как их распределить?

– В первый чек все самое дешевое, во второй – самое дорогое. Тогда твоя скидка будет максимальной, – отвечаю наобум, просто чтобы ее успокоить, дать какой-то алгоритм. Но пока стоим в очереди, обдумываю эту задачу. И она мне нравится все больше и больше.

Правильный ли ответ я дал? Давайте посмотрим. Есть шесть товаров с разной ценой, для определенности пусть они стоят 1, 2, 3, 4, 5 и 6 руб. Пробиваем два чека, в одном из них с необходимостью будет товар ценой 1 руб., и именно такой будет скидка по этому чеку. Значит, нужно сделать так, чтобы во втором чеке самый дешевый товар был как можно дороже. Это возможно сделать, только если два самых недорогих товара (из оставшихся пяти) поместить в первый чек – а это вещи ценой 2 и 3 руб. Тогда в первом чеке у нас товары за 1, 2 и 3 руб., во втором – за 4, 5 и 6. Получается, совет жене я дал совершенно правильный. Нетрудно распространить это правило и на любое другое число товаров, кратное трем: рассуждая аналогичным образом, мы получим, что всегда нужно группировать товары по цене (по возрастанию или по убыванию) и в каждом чеке пробивать ближайшие «тройки». Можно еще задаться вопросом: если покупаешь три вещи, что выгоднее – чтобы они были в разную цену или одну и ту же? Несложно показать, что максимальная скидка (33 %) достигается, когда вещи стоят одинаково, в противном случае она может быть значительно ниже (в примере трех вещей ценой в 1, 2 и 3 руб. скидка составляет 1/6 = 17 %).

Эта задача кажется мне замечательной вот по какой причине: она наглядно показывает, что сложные расчеты и рассуждения применимы не только в высокой академической науке, но и в самой что ни на есть приземленной, мещанской сфере, к каковой, вне всяких сомнений, относятся промоакции в магазинах. Казалось бы, никакой связи – а она есть. Любите науку, это взаимно!