На следующем шаге в формуле для суммы бесконечной геометрической прогрессии переменная y заменяется на знак интеграла. Эта формула справедлива, если y – число, меньшее 1. Но ∫ – это даже не число, просто символ. Какой абсурд!
Несмотря на это, конечный результат – корректный степенн о й ряд для ex .
Это не совпадение. При правильных определениях (к примеру, ∫ – это оператор, превращающий функцию в ее интеграл, а формула для «суммы геометрической прогрессии» работает для операторов при подходящих технических условиях) все может выглядеть совершенно логичным. Но смотрится все равно странно.
Задача Эрдёша о расходимости
Пал Эрдёш был весьма эксцентричным, блестящим венгерским математиком. Он никогда не имел дома, он никогда не занимал никакого ученого поста, предпочитая путешествовать по миру с небольшим чемоданом и ночевать в домах понимающих коллег. Он опубликовал 1525 математических статей и сотрудничал с 511 математиками – число, к которому никто другой в мире не смог даже приблизиться. Он предпочитал изобретательность глубоким систематическим занятиям теорией и с особенным удовольствием разгадывал загадки, которые выглядели очень просто, но на самом деле оказывались совсем не простыми. Его основные достижения относятся к области комбинаторики, но он мог бы приложить свою руку и ко многим другим областям математики. Он нашел новое доказательство постулата Бертрана (между n и 2 n всегда найдется хотя бы одно простое число), гораздо более простое, чем оригинальное аналитическое доказательство Пафнутия Чебышёва. Вершиной карьеры Эрдёша стало доказательство теоремы о числе простых (число простых чисел, меньших x , приблизительно равно x /ln x ), которая не поддавалась комплексному анализу, считавшемуся до того момента единственным способом доказательства.
Эрдёш любил предлагать денежные призы за решение задач, которые придумал, но не смог сам решить. Он мог предложить $25 за решение чего-то, что, как он подозревал, решается относительно просто, и несколько тысяч долларов за что-то, что он считал по-настоящему сложным. Типичный пример его математики – задача Эрдёша о расходимости, оцененная им в $500. Она была поставлена в 1932 г. и решена в начале 2014 г. Замечательный пример того, как сегодняшняя математика подходит к разрешению давних загадок.
Задача начинается с бесконечной последовательности чисел, равных или +1, или –1. Это может быть регулярная последовательность, к примеру
+1–1 +1–1 +1–1 +1–1 +1–1…,
или нерегулярная («случайная)
+1–1 –1–1 +1–1 +1 +1–1 +1…,
которую я получил путем бросания монетки. Она не обязана содержать равную долю плюсов и минусов. Подойдет любая последовательность.
Один из способов убедиться в том, что первая из этих последовательностей регулярна, – это взглянуть на каждый второй ее член:
– 1–1 – 1–1 – 1…
Сумма первых n членов такой последовательности выглядит так:
– 1–2 – 3–4 – 5…
и убывает до бесконечности. Если посмотреть те же параметры для второй последовательности, получим:
+1–1 – 1 + 1–1…
с суммами
+1 0–1 0 +1…,
которые скачут вверх и вниз.
Предположим, что мы возьмем конкретную, но произвольную последовательность из ±1 и выберем произвольное положительное число С , которое мы хотим получить. Это число может быть сколь угодно большим, например миллиардом. Эрдёш задал вопрос, всегда ли существует такое число d , что суммы членов последовательности, разделенных d шагами, то есть стоящих на позициях d , 2 d , 3 d и т. д., на каком-то этапе станут либо больше C , либо меньше – C . После того как эта цель достигнута, та же последовательность может давать дальнейшие суммы, лежащие между C и – C : достаточно хотя бы раз дойти до цели. Однако подходящий шаг d должен существовать для любого целевого C . Разумеется, d зависит от C . То есть, если последовательность имеет вид x 1, x 2, x 3,…, вопрос состоит в том, можем ли мы найти d и k такие, что | x d + x 2 d + x 3 d + … + x kd | > C .
Абсолютная величина суммы слева – это «разброс» подпоследовательности, определяемой величиной шага d ; это мера избытка знаков «+» по сравнению со знаками «–» (или наоборот).
В начале февраля 2014 г. Алексей Лисица и Борис Конев объявили, что ответ на вопрос Эрдёша – «да», если C = 2. В самом деле, если выбрать подпоследовательность с шагом d из первых 1161 члена произвольной ±1-последовательности и взять подходящую длину k , то абсолютная величина суммы превысит C = 2. Их доказательство получено с активным использованием компьютера, а файл данных занимает 13 Гб. Это больше, чем все содержание Википедии, объем которой около 10 Гб. Несомненно, это одно из самых длинных доказательств в истории математики, слишком длинное, чтобы человеческий разум мог самостоятельно его проверить.
Читать дальше
Конец ознакомительного отрывка
Купить книгу