Кьяртан Поскитт - Математика для взрослых

Вспоминаем, что 1 2= 1 × 1 = 1, поэтому выходит

a 2– 1 = (a + 1)(a – 1)

Теперь предположим, что a — второе из трех последовательно идущих чисел. Тогда ( a + 1) будет наибольшим числом, а ( a – 1) — наименьшим. Уравнение говорит нам, что если взять квадрат второго числа и вычесть из него единицу, то результат будет равен наибольшему числу, умноженному на наименьшее.

В случае с числами 12, 13 и 14 a = 13, но, разумеется, вместо 13 можно выбрать любое другое значение. Вот почему этот фокус применим к любым трем последовательно идущим числам.

Алгебра отлично подходит для разоблачения фокусов из серии «загадать любое число».

Как разрушить Вселенную

Помните, выше я предупреждал вас о такой вероятности? Если вы дочитали до этого места, значит, усердно трудились и многое узнали, поэтому будет совершенно справедливо вознаградить вас за старания неограниченными космическими суперспособностями...

Начнем с двух чисел, a и b , которые волей случая оказались равны: a = b

Будем обращаться с обеими частями этого уравнения совершенно одинаковым образом. Смотрите внимательно...

Умножаем обе части на a : a 2= ab

Вычитаем из обеих частей b 2: a 2— b 2= ab — b 2

С левой стороны уравнения получается разность квадратов, поэтому, как мы знаем, a 2 − b 2 = ( a + b )( a – b ). С правой стороны выходит ab − b 2, где оба элемента делятся на b , стало быть, это выражение можно записать как b ( a − b ). Все эти действия допустимы и абсолютно корректны.

Таким образом, получаем (a + b)(a — b) = b(a — b)

Теперь разделим обе части на ( a – b ) и получим (a + b) = b Перед скобками множителя нет, а значит, их можно просто убрать

a + b = b

Переносим + b в другую часть уравнения, меняя знак:

a = b – b

И вот итог: a = 0

Теперь вспоминаем, что a и b могут быть любыми числами, следовательно, мы только что доказали, что любое число равно нулю. То есть получается, что любые измерения времени, пространства или веса несущественны: прощай, Вселенная!

Наша ошибка состояла в том, что мы разделили обе части уравнения на ( a − b ). Но в случае, когда a = b, ( a − b ) = 0. Единственное, чего нельзя делать одновременно с обеими частями уравнения, — это делить на ноль! Если, конечно, вы не собираетесь потратить денек-другой на попытки разрушить Вселенную...

Системы уравнений

Если два неизвестных числа входят в два различных уравнения, их, как правило, можно найти.

Вот классическая задачка. Пара ботинок и щетка для обуви стоят 51 фунт, причем ботинки на 50 фунтов дороже щетки. Какова цена щетки?

Попробуйте спросить об этом Малькольма. Скорее всего, он ответит, что щетка стоит 1 фунт, а ботинки 50 фунтов, но тогда получается, что ботинки лишь на 49 фунтов дороже щетки... Выходит, Малькольм ошибается?!

Поразмыслив, вы можете угадать ответ, но я хочу рассказать, как получить его с помощью алгебры. Обозначим цену ботинок буквой s , а цену щетки c . К счастью, у нас достаточно сведений, чтобы составить два уравнения: Уравнение 1. Ботинки и щетка стоят 51 фунт: s + c = 51

Уравнение 2. Ботинки стоят на 50 фунтов дороже щетки: s = 50 + c Простейший способ решения системы уравнений называется подстановкой. Исходя из уравнения 2, s = 50 + c , поэтому перепишем уравнение 1, подставив туда (50 + c ) вместо s .

Получаем:

50 + c + c = 51

Меняя знак, переносим 50 в другую часть уравнения и складываем две буквы c : 2c = 51 — 50

Тут все просто…

2c = 1

И наконец, делим обе части уравнения на 2, чтобы узнать цену щетки:

c = 0,5 = 50 пенсов

Согласно уравнению 2, s = 50 + c , так что получаем:

s = 50,5 фунта

Выходит, ботинки стоят 50,5 фунта, а щетка 0,5 фунта. Ответ неожиданный, но верный!

Загадай число

Этот трюк можно проделать с любым числом, даже дробью. Давайте с помощью алгебры разберемся, что здесь к чему. Число нам неизвестно, поэтому просто назовем его n и посмотрим, что с ним происходит по мере выполнения разных действий.