М. Л. Фартушняк - Репетитор по математике. Арифметика

Нетрудно заметить, что арифметические законы позволяют упростить вычисления.

Например:

4 × 93 × 25 = 93 × (25 × 4) = 93 × 100 = 9300. Применён сочетательный закон умножения.

932 +869 +68 = 869 + (932 +68) = 869 +1000 = 1869. Применён сочетательный закон сложения.

158 × 6 +242 × 6 = (158 +242) × 6 = 400 × 6 = 2400. Применён распределительный закон умножения относительно сложения.

Натуральные числа больше единицы называются простыми, если они делятся только на единицу и на самого себя.

Натуральные числа больше единицы называются составными, если они делятся и на другие числа. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным.

Например, числа 5, 7, 19, 31, 61, 89 простые. Они не делятся нацело на другие числа.

А вот число 21 и 81 составные. 21 делится не только на единицу и самого себя, но и на цифры 3 и 7. 81 делится на цифры 3, 9, 27.

Числа 1, 3, 7, 21 делители числа 21, числа 1, 3, 9, 27, 81 делители числа 81. Число 21 кратное для чисел 1, 3, 7, 21, т.к. делиться на эти числа без остатка.

Интересная задача.

Нумерация домов на улице от 1 до 11. Каких чисел больше, простых или составных в нумерации домов?

Так просто. Однако многие забывают, что единица не относится ни к простым, ни к составным числам, поэтому дают неправильный ответ. Отбрасываем единицу и начинаем считать: 2, 3, 5, 7, 11 – простые, 4, 6, 8, 9, 10 – составные. Простых и составных чисел оказалось поровну, хотя количество домов на нечётной стороне больше. Можете это проверить.

Часто задают вопрос, каких чисел в математике больше: простых или составных. Вы сами можете ответить на этот вопрос. Все чётные числа – составные, т.к они делятся на 2. А из нечётных чисел не все простые. Даже в первой десятке есть число 9, которое не является простым. В приведённых выше примерах нечётные числа 21 и 81 не являются простыми. Поэтому, простых чисел не так много. В первой тысяче их 168.

Переходим к формулировке основной теоремы арифметики.

Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел. Такое представление называется разложением числа на простые множители.

Рассмотрим пример разложения числа на простые множители

Таким образом, 1421 = 7×7×29 = 7² ×29.

Как научиться правильно делать разложение чисел на простые множители? Обычно такое разложение записывают столбиком в две колонки. В левую колонку записывается исходное число.

1 шаг. Берём самое маленькое простое число 2 и проверяем делится ли исходное число на 2.

2 шаг. Если делится, то в правую колонку выписываем 2, далее делим исходное число на 2 и записываем результат в левую колонку под исходным числом

3 шаг. Если же число не делится на 2, то берём следующее простое число 3. И так далее.

Повторяем эти шаги при работе с последним числом в левой колонке и с текущим простым числом. Разложение заканчивается, когда в левой колонке будет записано простое число.

Чтобы лучше понять этот алгоритм разберём несколько примеров.

Пример 1: Разложить число 298 на простые множители.

Берём число 2 и проверяем делится ли 298 на 2. Делится. В остатке получаем 149. Записываем число 2 в правую колонку, а число 149 в левую. Число 149 простое. Поэтому, 298 = 2×149. Разложение закончено.

Текст предоставлен ООО «ЛитРес».

Прочитайте эту книгу целиком, на ЛитРес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.