Иэн Стюарт - Величайшие математические задачи

Вот только… прошу прощения, я немного переборщил. Гипотеза утверждает, что достаточно воспользоваться определенным типом алгебраического цикла — того, что обитает в классе Ходжа. Чтобы объяснить это, нам потребуется еще один ингредиент в уже и без того густой смеси: анализ. Одной из важнейших концепций анализа является дифференциальное уравнение, которое представляет собой условие, наложенное на скорости изменения переменных (см. главу 8). Почти вся математическая физика XVIII, XIX и XX вв. моделирует реальность при помощи дифференциальных уравнений. По существу, это верно даже для XXI в. В 1930-е гг. эта идея привела Ходжа к целой группе новых методик. Сегодня все это называется теорией Ходжа. Она естественным образом связана с множеством других мощных методов в объединенной области анализа и топологии.

Идея Ходжа заключалась в том, чтобы использовать дифференциальное уравнение для распределения классов когомологий по типам. Каждый из них обладает дополнительной структурой, которую можно успешно применять при решении топологических задач. Определяются они при помощи дифференциального уравнения, появившегося впервые в конце XVIII в. в работе Пьера-Симона де Лапласа и известного, соответственно, как уравнение Лапласа. Основные работы Лапласа были посвящены небесной механике, движению и форме планет и их спутников, комет и звезд. В 1783 г. он работал над определением точной формы Земли. К тому времени уже было известно, что Земля — не сфера, что она сплющена у полюсов и представляет собой приплюснутый сфероид — как если сесть сверху на пляжный мяч. Но даже такое описание не отражает деталей. Лаплас нашел способ рассчитать форму Земли с любой заданной точностью на основании физической величины, представляющей гравитационное поле планеты: это не само поле, но его гравитационный потенциал. Это мера энергии, содержащейся в гравитационном поле, численная величина, определяемая в каждой точке пространства. Тяготение действует в том направлении, в котором потенциал уменьшается с максимальной скоростью, а абсолютное значение силы соответствует скорости уменьшения.

Гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: грубо говоря, это означает, что в отсутствии вещества, т. е. в вакууме, среднее значение потенциала по очень маленькой сфере равно его значению в центре сферы. Это своего рода демократия: ваша ценность получается путем усреднения ценностей ваших соседей. Любое решение уравнения Лапласа называется гармонической функцией. Ходжа среди классов когомологий интересуют те, что имеют особые отношения с гармоническими функциями. Теория Ходжа и изучение этих типов помогли открыть глубокую и чудесную область математики: отношения между топологией пространства и специальным дифференциальным уравнением на этом пространстве.

Вот мы и у цели. Гипотеза Ходжа постулирует глубокую и мощную связь между тремя столпами современной математики: алгеброй, топологией и анализом. Возьмем любое многообразие. Чтобы разобраться в его форме (это топология с выходом на когомологические классы), выбираем частные случаи таких классов (анализ с выходом на классы Ходжа через дифференциальные уравнения). Эти частные случаи коголомологических классов могут быть реализованы с использованием подмногообразий (алгебра: добавьте несколько уравнений и внимательно посмотрите на алгебраические циклы). Иными словами, чтобы ответить на топологический вопрос («Какой формы эта штука?») для многообразия, следует перевести его в плоскость анализа, а затем решить средствами алгебры.

Почему это так важно? Гипотеза Ходжа — это предложение добавить в инструментарий специалиста по алгебраической геометрии два новых инструмента: топологические инварианты и уравнение Лапласа. В самом деле, если разобраться, то в этой гипотезе речь не идет о какой-то математической теореме: речь о новых инструментах. Если гипотеза верна, эти инструменты обретают новое значение и становятся потенциальным средством поиска ответов на бесчисленное количество вопросов. Разумеется, гипотеза может оказаться и ошибочной. Было бы обидно, но, если возможности наших инструментов ограничены, лучше знать об этом заранее, чем то и дело натыкаться на проблемы в самый неподходящий момент.

Теперь, когда мы оценили природу гипотезы Ходжа, можно посмотреть, какие у нас есть свидетельства в ее пользу. Что нам известно? Чрезвычайно мало.

В 1924 г., еще до того, как Ходж выдвинул свою гипотезу, Соломон Левшец доказал теорему, которая сводится к гипотезе Ходжа для второй (или двумерной) группы когомологий любого многообразия. При помощи рутинных методов алгебраической топологии можно показать, что из этого следует гипотеза Ходжа для размерностей 1, 2 и 3. Для многообразий более высоких размерностей известно лишь несколько частных случаев гипотезы Ходжа.