Ирина Краева - Математическая стодневка. Сто задач до нового года

Несколько предыдущих задач было связано со свойствами делимости. Найдите все возможные делители числа предстоящего года. Сколько их?

Число называется продолговатым , если оно представимо в виде произведения двух натуральных множителей, больших единицы. Геометрическая интерпретация: площадь прямоугольника со сторонами, целочисленные длины которых больше 1.

Будет ли число предстоящего года продолговатым?

Дополнительные вопросы

1. Будет ли постое число продолговатым?

2. Может ли продолговатое число быть простым?

3. Всегда ли составное число будет продолговатым?

4. Всегда ли продолговатое число будет составным?

Число называется прямоугольным , если оно представимо в виде произведения двух последовательных натуральных чисел. Будет ли число предстоящего года прямоугольным?

Дополнительные вопросы

1. Будет ли прямоугольное число продолговатым?

2. Может ли продолговатое число быть прямоугольным?

3. Любое ли составное число будет прямоугольным?

4. Всегда ли прямоугольное число будет составным?

Продолжаем геометрическую тему: фигурные многоугольные числа. Если некоторое количество точек можно расставить в виде правильного треугольника, то число, соответствующее этому количеству, называется треугольным .

Является ли число предстоящего года треугольным?

Если некоторое количество точек можно расставить в виде квадрата, то число, соответствующее этому количеству, называется квадратным .

Является ли число предстоящего года квадратным?

Дополнительные вопросы

Будет ли число предстоящего года

– пятиугольным,

– шестиугольным,

– любым другим фигурным многоугольным числом?

Является ли число предстоящего года значением факториала какого-либо натурального числа?

Натуральное число, для которого не существует натурального квадратного корня, иногда называют глухим .

Является ли число предстоящего года глухим?

Дополнительные вопросы

1. Будет ли глухое число квадратным?

2. Если число является квадратным, то может ли оно быть глухим?

3. Какой традиционный термин используют для названия чисел, не являющихся глухими?

Является ли число предстоящего года совершенным?

Натуральное число называется почти совершенным , если оно на 1 меньше суммы всех своих собственных 2 2 Собственными называют все делители натурального числа, отличного от него самого. делителей.

Например, все степени числа 2 являются почти совершенными числами: 4 – 1 = 1 +2; 16 – 1 = 1 +2 +4 +8 и т. д.

Будет ли число предстоящего года почти совершенным?

Натуральное число называется кратно совершенным (или мультисовершенным), если сумма всех его делителей кратна ему самому.

Будет ли число предстоящего года кратно совершенным?

Натуральное число называется неприкасаемым , если оно не равно сумме собственных делителей ни одного другого натурального числа.

Является ли число предстоящего года неприкасаемым?

Число, которое кратно сумме своих цифр, называется числом харшад (в переводе с санcкрита «великая радость»).

Будет ли число предстоящего года числом харшад?

Существует ли натуральное число, сумма цифр которого равна номеру предстоящего года?

Если существует, то будет ли оно единственным?

Если таких чисел несколько, то найдите среди них наименьшее.