Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Горизонтальная линия – ось х ; на ней расположены те точки на плоскости, ордината которых равна 0. Когда кривая y = 100 + 200 x – 5 x ² пересекается с осью х , должно быть верно как то, что y равно 100 + 200 x – 5 x ², так и то, что y = 0; следовательно, 100 + 200 x – 5 x ² = 0 – в точности то уравнение, которое мы пытаемся решить, только теперь оно представлено в геометрическом виде, а вопрос состоит в пересечении кривой с горизонтальной осью.

Геометрическая интуиция подсказывает: если такая парабола расположена над осью х , она должна пересекать эту ось в двух точках – ни больше, ни меньше. Другими словами, существует два значения х , при которых 100 + 200 x – 5 x ² = 0.

Так какие это значения?

Если мы интерпретируем символ ± как «плюс», то получим

x = 20 + 2√105,

что равно 40,4939015319… – тот же ответ, который мы получили методом последовательного приближения. Но, выбрав знак «минус», мы получим

x = 20 – 2√105,

что равно –0,4939015319…

В качестве ответа на наш первоначальный вопрос это решение в каком-то смысле абсурдно. В ответ на вопрос: «Когда ракета ударит по мне?» – нельзя сказать: «Полсекунды назад».

Тем не менее это отрицательное значение х представляет собой решение данного уравнения, а когда математика говорит нам что-то, мы должны хотя бы попытаться прислушаться к ней. Что означает отрицательное число? Вот один из способов понять это. Мы сказали, что ракета была запущена с высоты 100 метров над поверхностью земли, со скоростью 200 метров в секунду. Однако на самом деле это означало только то, что в момент времени 0 ракета двигалась вверх с указанной скоростью с данного местоположения. Что если на самом деле ракета была запущена из другого места? Может быть, запуск ракеты произошел не в момент 0 с высоты 100 метров, а немного раньше, причем прямо с поверхности земли. В какое же время это произошло?

Расчеты говорят нам о следующем: существует в точности два момента времени, в которые ракета находится на уровне земли. Один момент – 0,4939… секунды назад. Именно в это время ракета была запущена. Другой момент – через 40,4939… секунды от настоящего момента. В это время ракета приземлится.

Вполне возможно, что получение двух ответов на один и тот же вопрос не кажется вам проблематичным, особенно если вы привыкли иметь дело с формулой корней квадратного уравнения. Однако, если вам исполнилось всего двенадцать лет, это порождает настоящий мировоззренческий сдвиг. Вы провели шесть долгих лет учебы в школе, пытаясь разобраться, в чем же ответ, а теперь выясняется, что такой вещи вообще нет.

И это только квадратные уравнения! А если вам придется решить такое уравнение:

x ³ + 2 x ² – 11 x = 12?

Это кубическое уравнение, другими словами, уравнение, в котором есть х , возведенный в третью степень. К счастью, существует формула корней кубического уравнения, позволяющая посредством прямых вычислений определить, какое значение х можно ввести в решающее устройство, повернуть рычаг и получить ответ 12. Но вы не учили в школе формулу корней кубического уравнения, поскольку это достаточно сложное уравнение, составленное только в конце эпохи Возрождения, когда странствующие алгебраисты скитались по всей Италии, втягивая друг друга в ожесточенные математические баталии, в которых ставкой выступало решение уравнений, а на кону стояли деньги и статус. Немногие математики, знавшие формулу корней кубического уравнения, держали ее в секрете и записывали только в виде зашифрованных стихов {81}.

Но это длинная история. Суть в том, что метод обратных вычислений довольно сложен.

Трудность задачи логического вывода (той самой задачи, над решением которой работали исследователи, искавшие в библейские скрытые коды) обусловлена тем, что это именно такая задача. Будь мы ученые, или исследователи Торы, или малыши, изумленно взирающие на тучи, – в любом случае мы имеем дело лишь с наблюдениями . На их основе мы строим гипотезы : из какого исходного материала создан мир, который мы видим? Логический вывод таков: мы столкнулись с трудной задачей, возможно, самой трудной из всех задач. Отталкиваясь от формы туч и их движения, мы проходим обратный путь, чтобы найти х – систему, которая их создала.