Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Концептуальный сдвиг, который совершил Филиппо Брунеллески, лежит в основе того, что математики называют проективной геометрией. Вместо точек на местности мы анализируем прямые линии, проходящие через наш глаз. На первый взгляд различие может показаться сугубо семантическим: каждая точка на поверхности земли определяет одну и только одну линию между этой точкой и нашим глазом, так не все ли равно, о чем мы думаем – о точке или о прямой? Разница вот в чем: количество линий, которые проходят через наш глаз, больше количества точек на поверхности, поскольку среди них есть еще и горизонтальные линии, вообще не пересекающиеся с поверхностью земли. Эти прямые соответствуют точкам схода на нашем холсте, то есть тем местам, в которых пересекаются рельсы. Вы можете представить такую линию как точку на поверхности, которая расположена «бесконечно далеко» в направлении рельсов. Математики обычно называют их бесконечно удаленными точками . Если взять плоскость, известную Евклиду, и изобразить на ней бесконечно удаленные точки, получится проективная плоскость. Вот рисунок такой плоскости.

Б о льшая часть проективной плоскости выглядит точно так же, как и обычная плоскость, к которой вы привыкли. Однако на проективной плоскости больше точек: на ней есть так называемые бесконечно удаленные точки – по одной на каждое возможное направление, в котором прямая может быть ориентирована на плоскости. Вы должны представлять себе точку Р , соответствующую вертикальному направлению, как расположенную бесконечно высоко по вертикальной оси, но также и как расположенную бесконечно низко по вертикальной оси. На проективной плоскости два конца оси Y сходятся в бесконечно удаленной точке, поэтому данная ось на самом деле представляет собой не прямую линию, а окружность. Аналогичным образом Q – это точка, расположенная бесконечно далеко на северо-восток (или на юго-запад), а R – точка, которая находится в конце горизонтальной оси. Или, скорее, на обоих концах. Если вы будете перемещаться бесконечно далеко вправо, до тех пор пока не окажетесь в точке R , а затем продолжите идти дальше, то обнаружите, что по-прежнему двигаетесь вправо, но теперь возвращаетесь в центр от левого края рисунка.

Ситуация «отправился по одному пути, вернулся по другому» поразила молодого Уинстона Черчилля, который дал яркое описание одного математического откровения, произошедшего в его жизни:

Однажды я прочувствовал математику, словно обозрел ее всю, все ее глубины раскрылись передо мной, вся ее бездонность. Подобно тому как многие наблюдают за прохождением Венеры или шествием лорда-мэра, я наблюдал за полетом величины через бесконечность и сменой ее знака с плюса на минус. Я понял, почему это происходит и как один шаг влечет за собой все другие. Похоже на политику. Но озарение пришло после плотного ужина – и мне было не до него! [217]

По существу, точка R – не просто конечная точка горизонтальной оси, а конечная точка любой горизонтальной линии. Если есть две линии и они обе горизонтальные, значит, это параллельные линии. Тем не менее в проективной геометрии они пересекаются в бесконечно удаленной точке. Дэвиду Фостеру Уоллесу в 1996 году в одном из интервью задали вопрос о концовке романа Infinite Jest («Бесконечная шутка»), который многие считали незавершенным. Журналист поинтересовался у Уоллеса, не уклоняется ли тот от написания заключительной части романа, потому что ему «надоело его писать». Уоллес довольно раздраженно ответил:

Концовка есть, как мне кажется. Считается, что определенные типы параллельных линий начинают сходиться таким образом, что читатель может спроецировать «конец» куда-то за пределы правильной системы координат. Если вы не увидели такого схождения или проекции, значит, книга для вас потеряна {188}.

У проективной плоскости есть недостаток: ее трудно нарисовать. Но есть у нее и преимущество, делающее правила геометрии более согласованными. На евклидовой плоскости две различные точки определяют одну прямую, а две различные прямые определяют одну точку пересечения, если только они не параллельные – в таком случае они вообще не пересекаются. В математике мы любим правила, но не любим исключений. С проективной плоскостью вам не придется делать никаких исключений в правиле, говорящем, что две прямые пересекаются в одной точке, поскольку параллельные прямые также пересекаются. Например, любые две вертикальные линии пересекаются в точке Р , а две линии, указывающие с северо-восточного направления в юго-западном, пересекаются в точке Q . Две точки определяют одну линию, две линии пересекаются в одной точке, вот и все [218]. Здесь имеет место идеальная симметрия, простота и изысканность, не свойственные классической планиметрии. Совсем не случайно, что проективная геометрия возникла естественным образом в результате попыток решить практическую задачу отображения трехмерного мира на плоском холсте. Как раз за разом показывает история науки, математическая элегантность и практическая полезность идут рука об руку. Порой ученые открывают теорию и предоставляют математикам искать объяснение ее элегантности; в других случаях математики разрабатывают элегантную теорию и оставляют ученым искать области ее применения.