Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

В этом примере в день перераспределения призового фонда в розыгрыше принимал участие один миллион игроков. Принцип аддитивности гласит, что сумма значений ожидаемой ценности всех 1,5 миллиона лотерейных билетов равна ожидаемой ценности общей стоимости всех билетов, или 3,8 миллиона долларов. Однако все билеты (во всяком случае до того, как вы узнаете выигрышные номера) имеют одну и ту же стоимость. Таким образом, вы суммируете 1,5 миллионов копий одного и того же числа и получаете 3,8 миллиона долларов; этим числом должно быть 2,53 доллара. Ваша ожидаемая прибыль на лотерейный билет составляет 53 цента, то есть более 25 % от вашей ставки – неплохая прибыль для лотереи, в которую, как принято считать, играют только простофили.

Принцип аддитивности настолько привлекателен на интуитивном уровне, что на первый взгляд может показаться, будто он очевиден. Однако, подобно определению цены пожизненных аннуитетов, он далеко не очевиден! Чтобы понять это, подставьте вместо ожидаемой ценности другие понятия – и вся схема нарушится. Возьмем хотя бы такое утверждение:

Самое вероятное значение суммы набора величин равно сумме самых вероятных значений каждой из этих величин.

Но это абсолютно ошибочное утверждение. Предположим, я случайным образом выберу, кому из троих детей оставить наследство. Самое вероятное значение доли каждого ребенка равно нулю, поскольку вероятность того, что я лишу его наследства, – два из трех. Однако самое вероятное значение суммы всех трех долей (по существу, единственно возможное значение) равно стоимости всего моего состояния.

Нам придется прервать историю об университетских умниках и их игре в лотерею, поскольку, раз уж мы заговорили об аддитивности ожидаемой ценности, я не могу не рассказать вам о самом красивом из всех известных мне доказательств, основанном на той идее.

Все начинается с игры франк-карро , которая, как и генуэзская лотерея, напоминает о том, что в старые времена люди играли практически на всё. Для игры франк-карро необходима монета и пол с квадратной плиткой. Вы бросаете монету на пол и заключаете пари: упадет ли она так, чтобы полностью поместиться в пределах одной плитки или прикоснется к одному из краев плитки. Примерный перевод французского словосочетания franc-carreau на английский язык – «squarely within the square» {166}(«целиком внутри квадрата»), а в качестве монеты, которая использовалась в этой игре, выступал не франк (его тогда еще не было в обращении), а экю .

Жорж Луи Леклерк, граф де Бюффон был провинциальным аристократом из Бургундии, у которого научные амбиции возникли еще в раннем возрасте {167}. Бюффон поступил в юридическую школу, возможно, для того чтобы вслед за своим отцом стать государственным чиновником, но сразу после окончания учебы отказался от карьеры в области права в пользу науки. В возрасте двадцати семи лет, в 1733 году, он уже был готов представить свою кандидатуру на членство в Королевской академии наук в Париже.

Впоследствии Бюффон прославился как естествоиспытатель, написав объемный труд Histoire Naturelle Générale et Particulière («Всеобщая и частная естественная история») [177] – всего сорок четыре тома, в которых была сформулирована его теория, призванная объяснить происхождение жизни так же просто и всеобъемлюще, как теория Ньютона объяснила движение и силу. Однако на Бюффона, который еще был тогда молодым человеком, большое влияние оказала короткая встреча и долгая переписка со швейцарским математиком Габриелем Крамером [178], поэтому его интересы были сосредоточены в области чистой математики; именно в качестве математика он предложил свою кандидатуру в Королевскую академию наук.

В работе, представленной Бюффоном, речь шла об оригинальном совмещении двух областей математики, которые ранее считались разрозненными: геометрии и теории вероятностей. Работа была посвящена не важным вопросам механики движения планет по их орбитам или экономике великих государств, а скромной игре франк-карро. Бюффон [179]поставил вопрос так: какова вероятность того, что монета упадет так, чтобы полностью находиться в пределах одной плитки? И каким должен быть размер напольной плитки, чтобы игра была справедливой для обоих игроков?

Вот как Бюффон сделал это. Если радиус монеты равен r , а квадратная плитка имеет сторону длиной L , тогда монета касается кромки, когда ее центр попадает внутрь меньшего квадрата со стороной L − 2 r :