Андрей Райгородский - Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир

Процесс продолжается. Gurobi появился в 2009 году и к 2012-му ускорился в 16,2 раза. А общий эффект в 1991–2012 годах – в 29000×16,2 раз! Повторим, что это произошло независимо от скорости компьютера, иными словами, исключительно благодаря развитию математических идей.

Если верить закону Мура, то за 1992–2012 годы компьютеры ускорились примерно в 8000 раз. Сравните с почти полумиллионным ускорением алгоритмов! Получается, что если вам нужно решить задачу линейного программирования, то лучше использовать старый компьютер и современные методы, чем наоборот, новейший компьютер и методы начала 1990-х.

Мы не устаем восхищаться прогрессом компьютерных технологий. При этом математика достигла гораздо большего прогресса, и никто даже не заметил! Многогранники, плоскости, двойственные задачи и разветвления зашиты в программных пакетах и решают задачи планирования, как будто так было всегда и в этом нет ничего особенного.

Конечно, самое поразительное – совместный эффект математики и компьютеров. Ускорение в 4 миллиарда раз. Задачи, на которые требовалось 126 лет в 1991 году, в 2012-м мы научились решать за одну секунду! И это не предел. В статье 2015 года Димитрис Бертсимас и Анжела Кинг из Массачусетского технологического института приводят новую цифру – 450 миллиардов – и предлагают новые приложения линейного программирования в статистике.

При столь невероятной эффективности для линейного программирования открываются новые горизонты, немыслимые ранее, но вполне реальные сегодня.

Самая престижная награда в исследовании операций – премия Франца Эдельмана за выдающиеся успехи науки в приложениях. В 2008 году ее получили Железные дороги Нидерландов за новое железнодорожное расписание, которое начало действовать в 2006 году.

Нидерланды – маленькая, но густонаселенная страна. На территории размером примерно с Нижегородскую область проживает около 17 миллионов человек. Железные дороги – основа всей голландской логистики. Многие каждый день ездят на поезде на работу. Совещание в другом конце страны – обычное дело. Голландцы – чемпионы Европы по пассажирским железнодорожным перевозкам. В 2006 году Железные дороги Нидерландов перевезли 15,8 миллиарда пассажиров.

До 2006 года действовало расписание, составленное в 1970 году. Перевозки увеличивались, составы постепенно удлинялись, а где возможно, добавлялись новые поезда. Пока наконец к началу 2000-х увеличивать перевозки в рамках старого расписания стало невозможно. Прокладывать новые пути фактически тоже невозможно из-за их безумной дороговизны, да и просто нехватки земли. Железнодорожные пути в Нидерландах строились и расширялись очень мало еще со времен Второй мировой войны. Задача, которая встала перед менеджментом железных дорог, – обеспечить требуемый объем перевозок при имеющейся инфраструктуре. Как это сделать? В 2002 году было решено составить новое расписание.

Расписание железных дорог – дело очень сложное. Нужно, чтобы два поезда одновременно не претендовали на один и тот же участок рельсов. Маршруты с пересадками тоже должны быть удобными, без получасового ожидания на платформе. Кроме того, нужно распределить пути прибытия и отправления на каждой станции, определить количество и тип вагонов для каждого состава, составить расписание кондукторов и машинистов. И все это для 5500 поездов в день!

Над задачей работала целая команда математиков. Основные сложности и идеи они описали в статье {4}, за которую им была присуждена премия Эдельмана.

Каждый этап составления расписания требовал новой модели и новых подходов. Некоторые задачи, например распределение путей прибытия и отправления, после нескольких шагов предварительной подготовки удалось решить с помощью пакета CPLEX. Задача расписания движения поездов упрощалась благодаря цикличности: поезда отправляются в одно и то же время каждый час. Но даже в этом случае коммерческие пакеты оказались бессильны. Справиться с задачей помогли новые математические идеи. Внедрение не сразу прошло гладко. И все же теперь больше поездов перевозит больше людей по тем же рельсам. Пассажиропоток увеличивается, но расписание по-прежнему справляется. В рамках старого расписания это было бы невозможно.

Если вы недавно посещали Нидерланды, то последний раздел вас мог удивить. Железнодорожное движение далеко от совершенства. Мелкие (и крупные) задержки случаются сплошь и рядом. Пересадки порой очень короткие, их легко пропустить при малейшем опоздании. Поезда часто переполнены, особенно вагоны наиболее популярного 2-го класса. Далеко не все обрадовались новому расписанию. Влиятельная голландская газета NRC Handelsblad писала: