Андрей Райгородский - Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир

А если этого не происходит, то

x (задание 3, очередность 1) = 0.

Каждая переменная в решении – это целое число: 0 или 1.

С помощью этих переменных можно записать стоимость любой последовательности и практически любые ограничения. Типичное строгое ограничение: прибор не может выполнять два задания одновременно. Но можно добавить ограничения и посложнее. Например, «задание 3 нужно (или желательно) выполнить раньше, чем задание 10» [3].

В реальности даже для составления относительно небольшого расписания имеет смысл воспользоваться математической моделью. Например, несколько лет назад студенты факультета прикладной математики Университета Твенте разработали модель для расписания ежегодного фестиваля хоров. Там несколько десятков хоров, несколько сцен, не каждый хор может петь на любой сцене, и у некоторых хоров один и тот же дирижер. Раньше организаторы бились над расписанием не один день. А компьютерная программа, которую написали студенты, выдавала решение буквально за несколько минут. Восхищенные певцы пришли в университет на презентацию проекта и спели студентам благодарственную арию!

Потребность в целочисленном решении кардинально усложняет задачу. Симплекс-метод не даст готового решения, потому что координаты углов многогранника вовсе не обязаны быть целыми и обычно целыми не будут. Целочисленное линейное программирование относится к разряду NP-трудных задач.

Классический подход к решению называется методом ветвей и границ. Он основан на «разветвлении» дробных решений на допустимые целочисленные и исключении неперспективных «веток» [4].

Для практического применения наивное использование метода ветвей и границ абсолютно не годится. Математики дополнили его многими другими методами. Например, сейчас на практике широко применяется метод «отсекающих плоскостей» (алгоритм Гомори), позволяющий эффективно отсекать дробные значения.

За относительно недолгий срок своего существования эта область математики достигла невероятного прогресса.

Американский ученый Роберт Биксби написал целую серию статей об истории линейного программирования. В нашем рассказе мы воспользовались его статьей 2012 года {3}.

По словам Биксби, после нескольких усовершенствований симплекс-метода к 1953 году удалось решить вариант знаменитой задачи о диете с 71 переменной и 26 ограничениями.

Аппарат, на котором производились вычисления, не был компьютером в строгом смысле этого слова. Это был огромный численный прибор, программируемый с помощью перфокарт. Решение заняло 8 часов, б о льшая часть которых ушла на то, чтобы вручную вставлять перфокарты в машину. Настойчивости и терпению ученых остается только удивляться.

Сегодня для решения задач линейного программирования на практике в основном используется коммерческое программное обеспечение. Среди самых известных пакетов – CPLEX и более недавний Gurobi.

В компьютерных технологиях действует одно эмпирическое правило, часто называемое законом Мура, согласно которому мощность процессоров удваивается каждые 18 месяцев. И хотя это не закон природы и Мур (один из основателей Intel) говорил не совсем об этом, все же данное утверждение примерно соответствует действительности.

Абсолютно очевидно, что любой алгоритм на современном компьютере будет работать гораздо быстрее, чем на давно устаревшей махине с перфокартами. Но и математика не стоит на месте. Старые алгоритмы совершенствуются, появляются новые. Как оценить роль математики в успехе коммерческих пакетов?

В 2007 году Биксби провел впечатляющий эксперимент. Он взял все версии пакета CPLEX, начиная с его первого появления в 1991 году, и опробовал их на большом количестве известных практических задач целочисленного линейного программирования. Ученые собрали внушительные коллекции таких задач. Биксби выбрал из них 1892, а затем сравнил скорость их решения, от версии к версии, на одном и том же компьютере.

Оказалось, что за 15 лет скорость решения увеличилась в 29 000 раз! Интересно, что самое большое ускорение, почти десятикратное, произошло в 1998 году, причем не случайно. До этого математики в течение 30 лет разрабатывали новые теории и методы, из которых очень мало было внедрено в практику. В 1998 году в версии CPLEX6.5 была поставлена задача реализовать по максимуму все эти идеи. В результате наши возможности в линейном программировании вышли на качественно новый уровень.