Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Эти идеи объединились в более молодой части анализа – дифференциальном исчислении. Это было именно то, что требовалось для работы с бесконечно малыми изменениями времени и расстояния, которые возникали при изучении постоянно меняющегося движения, равно как и для работы с бесконечно малыми прямыми кусочками кривых, появлявшимися в аналитической геометрии – новомодном исследовании кривых, определенных с помощью алгебраических уравнений, – популярной в первой половине 1600-х годов. Как мы увидим позже, одно время алгебра была настоящим поветрием. Ее популярность была благом для всех областей математики, включая геометрию, но она же создала буйные джунгли новых кривых, которые следовало изучить. Таким образом пересеклись загадки кривых и движения. В середине 1600-х они оказались в центре анализа, сталкиваясь друг с другом и создавая математический хаос и неразбериху. Расцвет анализа в этих суматошных условиях не обходился без бурных дискуссий. Некоторые математики критиковали анализ за чересчур свободное обращение с бесконечностью. Другие высмеивали алгебру как простой набор символов. Сопровождаемый всеми этими препирательствами прогресс анализа был медленным и нестабильным.

А потом в одно прекрасное Рождество родился ребенок [24]. Этот юный мессия анализа был невероятным героем. Рожденный недоношенным, без отца и брошенный матерью в возрасте трех лет, этот одинокий мальчик с темными мыслями превратился в скрытного подозрительного юношу. И тем не менее он (а это, как вы уже, наверное, догадались, был Исаак Ньютон) оставил в мире такой заметный след, как никто ни до, ни после него.

Сначала он нашел «святой Грааль» анализа, открыв, как снова сложить кусочки кривой, причем легко, быстро и систематически. Объединив символы алгебры с мощью бесконечности, он нашел способ представить любую кривую в виде суммы бесконечного множества более простых кривых, которые описываются различными степенями x , например x 2, x 3, x 4и так далее. Имея такие ингредиенты, он мог приготовить любую желаемую кривую – положив щепотку x , чуточку x 2и полную столовую ложку x 3. Это было похоже на рецепт и набор специй, мясную лавку и огород – и все в одном флаконе. С его помощью Ньютон мог решить любую задачу о формах и движениях.

Затем он взломал код Вселенной, обнаружив, что любое движение всегда происходит бесконечно малыми шагами и в любой момент описывается законами, изложенными на языке анализа. С помощью всего лишь горстки дифференциальных уравнений (законы движения и всемирного тяготения) Ньютон смог объяснить все, от траектории пушечного снаряда до орбит планет. Его потрясающая «система мира» объединила небеса и землю, положив начало просвещению и изменив западную культуру. Его влияние на философов и поэтов Европы было колоссальным. Как мы увидим, оно распространилось даже на Томаса Джефферсона и Декларацию независимости. В наше время идеи Ньютона положены в основу космических программ, предоставляя математику, необходимую для расчета траекторий, – работы, проделанной в NASA афроамериканским математиком Кэтрин Джонсон и ее коллегами (героини книги и фильма «Скрытые фигуры»).

После того как загадки кривых и движения были решены, анализ перешел к третьей великой одержимости: загадке изменений. Пусть это и клише, но от этого оно не менее истинно: нет ничего постоянного, все меняется. Сегодня дождливо, а завтра солнечно. Рынок акций растет и падает. Воодушевленные ньютоновскими взглядами, последующие поколения специалистов по анализу задались вопросом: есть ли законы изменений, аналогичные ньютоновским законам движения? Существуют ли законы роста населения, распространения эпидемий и кровотока в артериях? Можно ли использовать анализ для описания того, как электрические сигналы распространяются по нервам, или для предсказания транспортного потока на автостраде?

Следуя этой амбициозной программе, в постоянном сотрудничестве с другими областями науки и технологии, анализ помог создать современный мир. С помощью наблюдений и экспериментов ученые установили законы изменений, а затем использовали анализ для решений задач и составления прогнозов. Например, в 1917 году Альберт Эйнштейн применил анализ к простой модели атомных переходов и предсказал замечательный эффект под названием вынужденное излучение [25](этот термин обозначают буквы s и e в слове laser , которое представляет собой аббревиатуру, образованную от слов light amplification by stimulated emission of radiation [26]). Эйнштейн предположил, что при определенных обстоятельствах фотоны, проходящие через вещество, могут индуцировать появление других фотонов с той же длиной волны, движущихся в том же направлении. Получается своего рода цепная реакция, которая может дать мощный когерентный луч. Спустя несколько десятилетий предсказание сбылось. Первые действующие лазеры были созданы в начале 1960-х. С тех пор они используются везде – от проигрывателей компакт-дисков и оружия с лазерным наведением до сканеров штрих-кодов в супермаркетах и медицинских лазеров.