Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Говоря в целом, те виды сущностей, которые анализ моделирует континуумами, включают практически все, что можно представить. Ученые использовали анализ для описания того, как мяч непрерывно катится по наклонной поверхности, как луч солнца проходит сквозь воду, как непрерывный поток воздуха вокруг крыла удерживает в полете колибри или самолет и как концентрация частиц вируса ВИЧ в крови пациента непрерывно снижается в течение нескольких дней после начала комбинированного лечения. Во всех случаях стратегия одна и та же: разделить сложную непрерывную задачу на бесконечное множество более простых частей, решить их по отдельности, а затем соединить опять.

Теперь мы наконец готовы изложить главную идею.

Принцип бесконечности

Чтобы пролить свет на любые непрерывные формы, объекты, движения, процессы или явления – какими бы дикими или сложными они ни казались, – переосмыслите их как бесконечный набор более простых частей, проанализируйте, а затем сложите полученные результаты, чтобы понять исходное целое.

Голем бесконечности

Единственная неприятность во всем этом – необходимость справляться с бесконечностью. И это проще сказать, чем сделать. Хотя тщательно контролируемое применение бесконечности – секрет анализа и источник его колоссальной предсказательной силы, одновременно это и его самая большая головная боль. Подобно чудовищу Франкенштейна или голему из еврейской мифологии, бесконечность склонна ускользать из-под контроля хозяина. Как и в любой истории о гордыне, монстр неизбежно обращается против своего создателя.

Создатели анализа осознавали такую опасность, но все же считали, что без бесконечности не обойтись. Конечно, время от времени чудовище приходило в бешенство, оставляя за собой парадоксы, путаницу и философский хаос. Однако после каждого такого случая математикам всегда удавалось усмирить монстра, рационализировать его поведение и вернуть к работе. В итоге все всегда заканчивалось хорошо. Анализ давал правильные ответы, даже когда его создатели не могли объяснить, почему. Желание обуздать бесконечность и использовать ее силу – это та нить, которая проходит через всю 25-вековую историю матанализа.

Если учесть, что математика обычно изображается точной и безупречно рациональной, все эти разговоры о желаниях и заблуждениях могут показаться неуместными. Она рациональна, но не всегда изначально. Творение интуитивно, понимание приходит позже. В истории анализа логика всегда отставала от интуиции чаще, чем в других областях математики. И это заставляет чувствовать, что эта тема особенно человечна и дружелюбна, а ее гении больше похожи на нас.

Принцип бесконечности организует рассказ об анализе вокруг какой-то методологической темы. Но анализ – это не только методология, но и загадки. Его развитию особенно способствовали три: загадка кривых, загадка движения и загадка изменения. Плодотворность их изучения доказала ценность чистого любопытства.

Задачи о кривых, движении и изменении на первый взгляд могут показаться неважными, а может, даже безнадежно заумными. Но они затрагивают настолько глубокие концептуальные вопросы, а математика так глубоко вплетена в ткань Вселенной, что их решение имело далеко идущие последствия для хода цивилизации и нашей повседневной жизни. Как мы увидим в следующих главах, мы пожинаем плоды этих исследований всякий раз, когда слушаем музыку в своих телефонах, делаем покупки в магазинах с помощью лазерных сканеров или находим дорогу домой благодаря GPS-навигатору.

Все началось с загадки кривых. Здесь я использую слово «кривые» в самом широком смысле – для обозначения любой изогнутой линии, изогнутой поверхности или изогнутого твердого тела – представьте себе резиновую ленту, обручальное кольцо, плавающий пузырь, контуры вазы или палку салями. Чтобы упростить вещи, ранние геометры, как правило, сосредоточивались на абстрактных, идеализированных версиях кривых форм и игнорировали толщину, шероховатости и текстуру. Например, математическая сфера представлялась бесконечно тонкой, гладкой, идеально круглой мембраной без толщины, неровностей или волосатости, как у кокосового ореха. Но даже при таких идеализированных представлениях изогнутые формы вызывали принципиальные трудности, поскольку там не было прямых. С треугольниками и квадратами проблем не возникало. С кубами тоже. Они состоят из прямых линий и плоскостей, соединенных между собой в углах. Нетрудно вычислить их периметр, площадь или объем. Такие задачи умели решать геометры всего мира – в Древнем Вавилоне и Египте, Китае и Индии, Греции и Японии. Но с округлыми формами дело обстояло гораздо хуже. Никто не знал, какова поверхность сферы или какой у нее объем. В древности даже вычисление длины окружности или площади круга представлялось невыполнимой задачей. Не было стартовой точки и прямых линий, от которых можно оттолкнуться. Все изогнутое казалось непостижимым.