Бен Орлин - Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

Но на самом деле все не так.

Не поймите меня превратно: она еще не рухнула (по крайней мере, по моим последним данным). Но это никакая не победа треугольников. Если вы желаете увидеть треугольники в деле, забудьте о Великой пирамиде и прогуляйтесь со мной до пустыря неподалеку. Там мы обнаружим небольшую команду землемеров с канатом, завязанным странной петлей с 12 узлами на равном расстоянии друг от друга [31] Я узнал о египетских вязальщиках узлов из книги: Kitty Ferguson, Pythagoras: His Lives and the Legacy of a Rational Universe (London: Icon Books, 2010). .

Зачем? Просто понаблюдайте. Сделав несколько шагов, каждый третий землемер берет свой узел (№ 1, № 4 и № 8, если быть точным), и они натягивают канат. Словно по волшебству, он образует прямоугольный треугольник. Четвертый рабочий отмечает прямой угол на песке. Землемеры ослабляют натяжение каната. Эта сценка повторяется снова и снова, пока весь пустырь не будет поделен на идеальные участки равного размера.

Если вы не клевали носом на уроках геометрии (и даже если клевали), эта сценка, возможно, вызовет в памяти теорему Пифагора. Ее формулировка такова: если вы построите по квадрату на сторонах прямоугольного треугольника, сумма площадей двух меньших квадратов будет равна площади большего. Или, говоря современным алгебраическим языком: а 2+ b 2= с 2.

Реестр таких треугольников бесконечен. Например, длины сторон могут быть равны 5, 12 и 13; или 7, 24 и 25; или 8, 15 и 17; или (мой любимый пример) 20, 99 и 101. Египтяне мудро выбрали простейший случай: треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Вот поэтому узлов именно 12.

Но эта глава не о Пифагоре и «его» теореме (которую и без его помощи знали более древние цивилизации). Она о более простом и фундаментальном свойстве треугольников, замаскированном изяществе, которое мы скоро обнаружим. История треугольника начинается не в пифагорейском храме и не на вершине Великой пирамиды, а здесь, на пустыре. Канат превращается в инструмент землемера. Это первый увиденный нами намек на столь могущественную силу, что по сравнению с ней пирамиды — просто пригоршня пыли.

Психологическая фаза в процессе нашего рассказа! Треугольник должен вглядеться в собственную душу и задаться заветным вопросом: «Кто есмь аз?»

— Я фигура, подобная прочим, ничем не отличимая от них, за исключением количества сторон и углов?

Музыка звучит все громче, и треугольник молит космос о знаке, цели, озарении.

— О, из чего, — он вопиет, — на самом деле создан я?

Глас громовой грохочет из глубин.

— Я создан из трех сторон.

Окей, возможно, здесь нет такого откровения, как в моментах самопостижения. Немного похоже на то, как пациент психотерапевта замечает, что лежит на кушетке. Но здесь есть потаенные бездны. Нам откроется новая истина, если мы увидим в треугольнике не просто цельную фигуру, а совокупность трех частей.

Например: для создания треугольника сгодятся не любые три отрезка. Возьмем длины 10, 3 и 2 см. Эти три отрезка образуют этакую недофигуру с зазором — недотреугольник, если вам угодно. Длинный отрезок слишком длинный; короткие слишком коротки. Я окрещу его «Треугольник Ти-рекс», потому что короткие передние лапки не соответствуют массивному туловищу.

Это универсальная истина: самая длинная сторона треугольника должна быть короче, чем сумма двух других.

Это правило совершенно очевидно для мухи, ползущей по периметру треугольника. Ей известно, что путь напрямик (от A до B) всегда будет короче, чем обходной путь (от A до B, минуя C). Таким образом, сумма двух коротких сторон должна быть больше, чем длина третьей стороны.

У этого правила есть компаньон, даже глубже и могущественнее него: « Если три отрезка все-таки образуют треугольник, то один и только один ». Поскольку даны три отрезка, импровизации и выдумки здесь неуместны. Есть всего один шаблон.