Айзек Азимов - Числа - от арифметики до высшей математики

В индийской системе, в отличие от древнееврейской и древнегреческой, для обозначения всех возможных чисел использовалось всего девять цифр, так же, как и на счетах, где на каждом ряду одно и то же количество костяшек. Это было необходимо, чтобы придать цифрам определенную значимость в зависимости от положения, которое они занимали.

Например, если мы хотим выложить число двадцать три на счетах, то в нижнем ряду, в ряду единиц, мы откладываем три костяшки, а в следующем ряду, в ряду десятков, мы откладываем две костяшки. В индийской системе это число записывается как 23, и, когда мы его видим, мы сразу понимаем, что данное число состоит из двух десятков и трех единиц.

Соответственно число тридцать два будет записано как 32, где 3 — это количество десятков, а 2 — количество единиц. Поскольку значимость цифры зависит от положения, то числа 32 и 23 — это совершенно разные числа.

Маловероятно, что хитроумные древние греки не могли разработать подобной системы, ведь удалось же им сделать множество чрезвычайно важных открытий в самых разных областях. Настоящим препятствием для них, а также для всех остальных, помимо индийцев, на пути развития методов счета явилась проблема свободного ряда на счетах.

Предположим, вам надо вместо двадцати трех изобразить число двести три. На счетах вы отложите три костяшки в нижнем ряду, не отложите ни одной в следующем ряду, в ряду десятков, и, наконец, в ряду сотен отложите две костяшки.

А как записать это число в индийской системе? Двадцать три мы записываем как 23, а число двести три, казалось бы, будет выглядеть точно так же, 23, только теперь 2 будет обозначать число сотен.

А теперь перейдем к тысячам. Как отложить на счетах число две тысячи три?

Три костяшки откладываем в нижнем ряду, ни одной в следующем ряду, в ряду десятков, ни одной в следующем ряду, в ряду сотен, и, наконец, в ряду тысяч отложим две костяшки.

А как записать это число в индийской системе? Опять 23? Только теперь двойка означала бы количество тысяч. Так что же, три разных числа записываются одинаковым образом? Нет, записываются они по-разному, и это стало возможным именно благодаря главному усовершенствованию, введенному в систему счета индийцами.

Как можно было бы изобразить эти три числа, чтобы они различались? Можно было бы, скажем, ставить над каждой цифрой определенное количество точек, которое обозначало бы, к какому разряду относится данная цифра, к сотням, тысячам или десяткам. Например, одна точка — единицы, две — десятки, три — сотни, четыре — тысячи:

Но такая система записи громоздка и неудобна, и индийская система основана совсем на другом принципе.

Величайшим достижением древних индийцев стало введение специального символа для отсутствующего разряда, то есть для того ряда на счетах, на котором не передвинуто направо ни одной костяшки. Арабы называли этот символ «сифр», то есть пустой, в английском языке название трансформировалось в «зеро» в русском языке этот символ получил название «ноль». Но слово «сифр» также прижилось в русском языке. От него произошли слова «цифра», «шифр», «шифровать».

Ноль обозначается как «О». Теперь двести три можно записать как 203, а две тысячи три — как 2003, двести тридцать — как 230, а две тысячи тридцать — как 2030. В каждом случае мы обозначаем нолем тот ряд на счетах, на котором не передвинуты костяшки.

(Двадцать три можно записать также как 0023 или 00023 или даже 000000023, но так никогда не делают. Принято записывать только первый по величине значащий разряд, а на счетах все ряды выше первого значащего приравнены к нулю).

Именно изобретение такой цифры, как ноль, и сделало так называемые арабские цифры удобными и практичными. Это изобретение стало поистине революционным. (Странно, что изобретение «нуля», то есть «ничего», оказалось столь важным для дальнейшего развития человечества. Но еще более странно то, что многие великие математики древности так и не додумались до этого «ничего».)

Когда мы считаем, используя арабские цифры, то первое, что следует сделать, — это запомнить суммы чисел от нуля до девяти. Как мы учимся считать? Сначала запоминаем, что 1 + 1 = 2, 2 + 3 = 5, 4 + 5 = 9, 6 + 7= 13 и так далее. Очень важно также усвоить, что 0 + 0 = 0.