Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

Гипотеза о простых числах-близнецах намного старше и ведет свое начало со времен Евклида. Она утверждает, что существует бесконечно много пар простых чисел-близнецов р и р + 2. Примеры – 5 и 7 или 11 и 13. Опять-таки, у нас нет ни доказательств, ни опровержений гипотезы. В 1966 г. Чэнь доказал, что существует бесконечно много простых чисел р , для которых и р + 2 являются простыми или полупростыми. На сегодняшний день самой большой из них считается пара 2 996 863 034 895 × 2 1 290 000± 1, обнаруженная в сентябре 2016 г.

Ферма утверждал, что простое число есть сумма двух квадратов, если оно принадлежит к типу a или б , но не является суммой двух квадратов, если принадлежит к типу в . Например, 37 относится к типу б , так как его можно представить как 4 × 9 + 1, и 37 = 6 2+ 1 2 – это сумма двух квадратов. А 31 = 4 × 8–1 относится к типу в , и если вы испробуете все возможные способы выразить его как сумму двух квадратов, у вас ничего не получится. (Например, 31 = 25 + 6, где 25 – квадрат, а 6 – нет.)

Вывод таков: число является суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда любой его простой делитель вида 4 k – 1 имеет четную степень. Используя подобные методы, Жозеф-Луи Лагранж в 1770 г. доказал, что любое положительное целое число есть сумма четырех квадратов целых чисел (включая один или два нуля, если необходимо). Ферма еще раньше говорил об этом, но не представил доказательств.

Одно из самых влиятельных открытий Ферма одновременно оказалось самым простым. Оно известно как Малая теорема Ферма, чтобы отличать ее от Последней (иногда называемой Великой), и утверждает, что если р – любое простое число и а – любое целое число, то а р – a кратно р . Описанное свойство обычно неверно, когда р составное число, но не всегда.

На доказательство самой знаменитой теоремы Ферма ушло 350 лет. Он сформулировал ее примерно в 1640 г. и заявил, что доказал ее, однако всё, что нам известно о ней, – не более чем короткое примечание. У Ферма имелась собственная копия «Арифметики» Диофанта, вдохновившая его на большинство исследований, и он часто записывал на полях свои мысли. Судя по всему, в какой-то момент он задумался над уравнением Пифагора – сложением двух квадратов, чтобы получить тоже квадрат. Он захотел понять, что получится, если вместо квадратов поставить кубы, но не нашел решения. Та же проблема возникла и с четвертой, и с пятой, и с прочими степенями. В 1670 г. сын Ферма Самуэль опубликовал новую редакцию перевода «Арифметики» Гаспара Баше, в которую вошли и заметки на полях, сделанные Ферма.

Пьер Ферма родился в 1601 г. во Франции, в городке Бомон-де-Ломань, в семье торговца кожами Доминика Ферма и Клэр де Лонг, дочери потомственного юриста. К 1629 г. он успел сделать ряд важных открытий в геометрии и методах исчисления, но предпочел карьеру юриста и выкупил должность королевского советника парламента (члена высшего суда) в Тулузе в 1631 г. Так он получил приставку «де» к своему имени. После эпидемии чумы, унесшей жизни многих его предшественников, он быстро сделал карьеру. Уже в 1648 г. он стал членом Палаты эдиктов, где и служил до конца жизни, достигнув в 1652 г. высшей должности – председателя уголовного суда.

Он никогда не стремилсяк академической карьере, но математика была его страстью. В 1653 г. он заразился чумой, и пошли слухи о его скорой смерти, но он выжил. Он вел активную переписку с другими мыслителями своего времени, особенно с математиком Пьером де Каркави и монахом Мареном Мерсенном.

Он работал в сферахмеханики, оптики, теории вероятностей и геометрии, а его способ определения максимума и минимума функции проложил дорогу современному дифференциальному исчислению. Он стал одним из ведущих математиков мира, но почти не публиковал свои работы, главным образом из-за нежелания тратить время на их подготовку к печати.

Самое долгое влияние на науку имела его теория чисел, где он подтолкнул многих математиков к поиску доказательств ряда теорем и решения задач. Среди них (неверно названное) уравнение Пелля nx 2+ 1 = y 2и утверждение, что сумма двух кубов, не равных нулю, сама кубом быть не может. Это частное утверждение из более общей гипотезы, Последней теоремы Ферма, где кубы заменили n-й степенью для любой величины n ≥ 3.