Ласло Мерё - Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

Математики исследовали, что происходит при внесении в доску такой асимметрии. Предположим, что на каждом уровне шарик падает на маленький рычажок, который может наклониться влево или вправо, причем все такие рычажки вращаются влево — то есть против часовой стрелки, — как миниатюрные пропеллеры. В результате вероятность отскока шарика влево всегда будет выше, чем вероятность отскока вправо. Если пропеллеры вращаются очень быстро, шарик почти всегда будет отскакивать влево, а если они вращаются медленнее, то и вероятность отскока влево будет меньше.

На такой «небеспристрастной» доске распределение шариков по пазам уже не будет симметричным. Слева их окажется больше. Тем не менее, если доска достаточно высока и широка, распределение шариков снова будет приближаться к гауссову, но его пик окажется смещен на некоторое расстояние влево. Чем быстрее вращаются пропеллеры, тем левее оказывается пик. Центральная предельная теорема продолжает действовать и на доске со смещением.

Математика асимметричной доски демонстрирует еще одно интересное свойство нормального распределения. Гауссиана абсолютно симметрична, но ее симметрия может быть образована асимметричными компонентами. В Тихонии абсолютная асимметрия может порождать — и часто порождает — абсолютную симметрию.

Теперь я хочу забежать вперед и показать вам фрактал — он изображен на илл. 8. Мы будем изучать эти странные объекты в части III. Фрактал этот совершенно не симметричен, но создает стойкое ощущение регулярности. Я поместил здесь его изображение, потому что оно иллюстрирует фундаментальное различие между Тихонией и Диконией. В Тихонии даже полная асимметрия может порождать абсолютную симметрию. В Диконии же даже принцип абсолютной симметрии (которую называют масштабной инвариантностью или самоподобием) может приводить к асимметрии. Фигура, представленная на илл. 8, является результатом действия чрезвычайно глубокого вида регулярности, гораздо более сложного, чем обычная симметрия.

Илл. 8.Фрактал

В предыдущей главе мы видели, что глубокая асимметрия может порождать абсолютно симметричное гауссово распределение. Однако существуют и такие явления, распределениям которых присуща неотъемлемая асимметрия, и с этим ничего не поделаешь. Например, распределение семейных доходов (илл. 9) асимметрично, потому что у него есть жесткий нижний предел — нулевой доход, — а сверху оно не ограничено ничем. Поскольку мы не ожидаем в этом случае абсолютной симметричности распределения Гаусса, мы не считаем, что гауссова кривая должна сколько-нибудь точно описывать распределение доходов. Семейный доход определяется несколькими компонентами, и, следовательно, для доходов должен быть справедлив какой-то вариант центральной предельной теоремы. Но этому предположению, кажется, противоречит не только отсутствие симметрии. Кроме того, правая часть кривой приближается к горизонтальной оси гораздо медленнее, чем распределение Гаусса, но быстрее, чем распределение Коши, — на самом деле эта кривая больше похожа на распределение Коши, чем на гауссиану. Действительно, по двум последним столбцам можно заключить — и вполне справедливо, — что длинный хвост, начинающийся во второй половине распределения, тянется еще очень далеко. Действительно, чрезвычайно высокие доходы существуют и даже встречаются не слишком редко [47] https://en.wikipedia.org/wiki/File: Distribution_of_Annual_Household_Income_in_the_United_States.png . . Значит ли это, что семейный доход — явление диконское?

Хотя этого не видно на первый взгляд, гауссиану все же можно использовать для описания распределения, представленного на илл. 9. Если отложить доходы по логарифмической шкале, так, чтобы расстояние от $1 до $10 по оси x было таким же, как расстояние от $10 до $100 и так далее, то кривая превратится в аккуратное, точное распределение Гаусса. Мы называем такие распределения логарифмически нормальными, или, сокращенно, логнормальными, потому что они выглядят как нормальное распределение, но в логарифмическом масштабе. Хотя действительно крупные доходы существуют, они не принадлежат к миру Диконии, потому что распределение Гаусса по-прежнему весьма хорошо их моделирует. Мы все еще не покинули пределов Тихонии.