Gustavo Pineiro - У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

Гаусс говорил, что бесконечность — это только величина (всегда конечная), которой позволено расти без ограничений, и ее нельзя понимать как нечто завершенное. Снова мы наблюдаем отказ от актуальной бесконечности.

Это только три примера из многих, о которых можно было бы упомянуть. Однако всего через 40 лет после этого письма Георг Кантор вынужден был ввести в математику и философию монстра, много раз отвергнутого, — актуальную бесконечность.

Сочинение Архимеда «Послание к Эратосфену о методе», или «Метод механических теорем», считалось утерянным в веках.

По различным упоминаниям было известно, что в нем описывались физические рассуждения, которые позволили предположить геометрические теоремы, затем доказанные со всей логической строгостью в других книгах автора. Однако точное содержание работы не было известно до 1906 года, когда, к всеобщему удивлению, совершенно случайно в Стамбуле была обнаружена ее копия.

Это был палимпсест, то есть рукопись, нанесенная на пергамент поверх другого текста.

К счастью, первоначальный слой стерли не полностью, и оригинальную работу частично удалось восстановить. Процесс возобновился в начале XXI века, когда группе экспертов, располагающих современными приборами для освещения и анализа изображений, удалось продвинуться в восстановлении «Метода...». Часть их открытий означает, что Архимед работал с актуальной бесконечностью. Эта история рассказана в детективе Ревьеля Нетца и Уильяма Ноэля «Кодекс Архимеда». Согласно полученным данным, чтобы сравнить объем двух тел, Архимед представлял их разрезанными на бесконечное количество полосок бесконечно малой ширины и делал вывод о том, что оба тела равны, если можно установить пары между полосками, образующими эти тела. Это предполагает не только работу с актуальной бесконечностью, но и допущение сравнения между двумя бесконечностями посредством установления пар между их компонентами, что сделал Кантор в конце XIX века. Если эти открытия подтвердятся, придется переписать часть истории бесконечности и признать, что Архимед ранее Кантора использовал актуальную бесконечность.

Архимед. Работа Жана Гужона. Фасад Лувра, Париж.

С 1867 по 1869 год Кантор в Берлине проводил свои первые исследования под руководством Леопольда Кронекера (спустя несколько лет они стали врагами). В то время Берлин был одним из самых мощных математических центров в мире (наряду с Геттингеном и Парижем). Первые исследовательские работы Кантора не слишком впечатлили его преподавателей, которые даже считали, что он никогда не станет выдающимся математиком. В 1870 году Кантору пришлось переехать из центра науки, Берлина, на периферию. Молодой и неизвестный ученый начал собственные исследования в Галльском университете.

Когда математик проводит исследование, его цель — решить определенную проблему. Даже сегодня, если спросить у математика, над чем он работает, его ответ наверняка будет состоять в формулировке задачи, которую он пытается решить. Чтобы понять задачу, занимавшую Кантора в 1870 году, нам нужно кратко рассказать о рядах Фурье.

В начале XIX века французский математик Жозеф Фурье разработал метод, позволяющий разложить любую периодическую функцию на сумму определенных элементарных функций (каждая из которых меняет амплитуду, частоту или фазу исходной функции). Фурье успешно применил его для изучения таких волновых явлений, как распространение тепла или колебания пружины. Так как эти суммы обычно затрагивают бесконечное (теоретически) число функций, а в математике результат сложения бесконечного числа величин называют рядом, этот метод получил название рядов Фурье. Сегодня он является важным инструментом во многих отраслях науки, таких как физика и инженерное дело.

В 1860-х годах, также в Галле, немецкий математик Эдуард Гейне работал над проблемой определения того, всегда ли разложение периодической функции на сумму элементарных волн является единственным.

Вопрос о единственности разложения часто встречается в математике. Возьмем натуральные числа (то есть образующие вышеупомянутую последовательность 1, 2, 3, 4...). Вспомним, что простые числа — это числа, которые делятся только на единицу и на самих себя (например, 2, 3, 5 и 11 — простые числа, в то время как 9 таковым не является, поскольку делится на 3).