Gustavo Pineiro - У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

С другой стороны, что означает алгоритмическая проверка справедливости рассуждений, доказывающих эти истины? Это означает, что по крайней мере в начале должно быть возможным так запрограммировать компьютер, чтобы за конечное количество шагов он мог определить, является ли доказательство справедливым. В соответствии с этой идеей мы вводим доказательство в машину, она обрабатывает его по предварительно написанной программе и через некоторое время (возможно, долгое, но в любом случае конечное) говорит нам, справедливо рассуждение или в нем содержится ошибка.

В целом проверка правильности математического доказательства — непростая работа, иногда даже для специалистов. Например, когда в 1995 году Эндрю Уайлс представил свое доказательство последней теоремы Ферма, которому он посвятил семь лет, специалисты, его проверявшие, нашли логический пробел — шаг, который, насколько они понимали, не был должным образом обоснован. Уайлс, естественно, этой ошибки не заметил, и ему потребовался год на ее исправление. В конце концов в 1996 году он представил полное доказательство.

Продемонстрируем менее сложный пример. Пусть а и b — два числа, которые мы считаем равными и при этом отличными от нуля. На основе того факта, что а = b, мы можем получить «доказательство» того, что 1 = 2 (для большей ясности пронумеруем логические шаги рассуждения).

Очевидно, что это рассуждение неверно, но где ошибка? Она находится в переходе от шага 5 к шагу 6. В равенстве

а · (b - а) = (b + а) · (b - а)

мы сокращаем скобки (b - а) и делаем вывод, что а = b + а. Это ошибочно, потому что (b - а) равно 0 (поскольку а = b), а 0 нельзя делить. Если представить это в виде чисел и предположить, например, что а и b равны 2, переход от 5 к 6 соответствует тому, чтобы сказать, что из 2 · 0 = 4 · 0 (что истинно) следует 2 = 4.

Но как мы можем научить компьютер обнаруживать ошибки такого типа? Компьютер — это только машина; он не рассуждает, а слепо следует программе, записанной в его памяти. Для того чтобы компьютер мог проверить правильность математического рассуждения, необходимо перевести это рассуждение в последовательность высказываний, каждое из которых либо аксиома, либо выводится из предыдущих высказываний посредством применения точных и заранее установленных логических правил.

Рассмотрим пример математического доказательства, выраженного таким образом. Для начала нам нужны некоторые аксиомы, которые будут служить нам отправной точкой. В 1889 году, задолго до открытия парадокса Рассела, итальянский математик Джузеппе Пеано предложил набор аксиом, которые (как он предполагал) позволяют доказать все арифметические истины. Эти аксиомы основывались на операциях сложения (+), произведения (·), а также понятии последующего элемента (обозначаемого буквой S).

Пеано понимал, что последовательность натуральных чисел получается на основе числа 1 посредством повторного применения функции последующего элемента. Таким образом, 2 определяется как последующий элемент для 1, что обозначается S (1) = 2; 3, по определению, — последующий элемент для 2, то есть S (2) = 3; и так до бесконечности.

Для нашего примера достаточно взять две аксиомы Пеано, относящиеся к сложению.

Аксиома 1: каким бы ни было число х, х + 1 = S(x).

Аксиома 2: какими бы ни были числа х и у, S(x + у) = х + S(у).

В первой аксиоме говорится, что последующий элемент числа х всегда получается прибавлением к нему 1. Вторую аксиому можно воспринимать как (x+y) + 1 = x + (y +1). На основе этих двух аксиом докажем, что 4 = 2 + 2.

Логическая структура доказательства того, что 4*2 + 2. Стрелки показывают применения правил вывода.

Но действительно ли нужно доказывать, что 4 = 2 + 2? Разве это не очевидный факт? Хотя это действительно очевидно, по программе Гильберта любое истинное утверждение, не являющееся аксиомой, должно доказываться на их основе. За исключением высказываний, которые явно указаны как аксиомы, нет других утверждений, которые сами по себе считаются истинными.