Маркус Сотой - Тайны чисел - Математическая одиссея

Рис. 1.08

Так древние вавилоняне записывали число 71. Вавилонская империя, подобно Египетской, была сосредоточена вблизи главной реки – Евфрата. С 1800 г. до н. э. вавилоняне контролировали значительную часть современных Ирака, Ирана и Сирии. Для расширения своей империи и управления ею им пришлось мастерски овладеть обращением с числами. Их записи велись на глиняных табличках, и писцы использовали деревянные палочки, или стилосы, чтобы делать отметки на сырой глине, которая потом высушивалась. Кончик стилоса имел форму клина, и вавилонское письмо теперь известно как клинопись.

Около 2000 г. до н. э. вавилоняне одними из первых пришли к идее использования позиционной системы счисления. Однако они использовали не основание 10, как египтяне, а 60. У них были различные символы для обозначения чисел от 1 до 59, а когда они доходили до 60, то начинали слева новый разряд «шестидесятков», подобно тому как мы ставим слева цифру 1 в разряде десятков, когда число становится больше 9. Итак, простое число, показанное выше, состоит из одного «шестидесятка» и символа, обозначающего 11, что вместе дает 71. У чисел от 1 до 9 имеется скрытая связь с десятичной системой, потому что они представляются горизонтальными линиями, но затем 10 представляется своим символом (рис. 1.09):

Рис. 1.09

Выбор основания 60 для системы счисления значительно более обоснован математически, чем 10. Ведь у числа 60 много делителей, что делает его удобным для проведения вычислений. Например, если у меня 60 бобов, я могу разделить их множеством способов:

60 = 30 × 2 = 20 × 3 = 15 × 4 = 12 × 5 = 10 × 6.

Рис. 1.10. Различные способы поделить 60 бобов

И сегодня у нас остаются следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления. В минуте 60 секунд, а в часе 60 минут. В круге 360 = 6 × 60 градусов. Имеются свидетельства, что вавилоняне использовали пальцы для счета до 60, причем довольно изощренным способом.

Если исключить большой палец, то на каждом из четырех оставшихся пальцев руки по три фаланги. Поэтому большим пальцем вы можете указать на одну из 12 фаланг. Левая рука используется для счета до 12. Затем 4 пальца правой руки используются для обозначения количества дюжин. В общей сложности вы можете так досчитать до пяти дюжин (4 дюжины на правой руке плюс одна дюжина на левой), то есть до 60.

Например, чтобы обозначить простое число 29, вам требуется показать две дюжины на правой руке и на фалангу, обозначающую 5, на левой.

Рис. 1.11

Вавилоняне близко подошли к открытию очень важного числа в математике – ноля. Ведь у вас появится проблема, если вы захотите записать клинописью простое число 3607. Оно представляется как 60 «шестидесятков» (3600 или 60 в квадрате) плюс 7. Его можно было бы перепутать с другим простым числом 67, не будь специального символа для обозначения пустого разряда. Этот символ находится посередине рис. 1.12, на котором записано число 3607.

Рис. 1.12

Но вавилоняне не считали ноль отдельным числом. Для них это был лишь символ в позиционной системе, использующийся для обозначения того, что отсутствуют определенные степени 60. Математике пришлось ждать еще 2700 лет, пока в VII в. индийцы не ввели ноль как число и не исследовали его свойства. Вавилоняне не только придумали изощренный способ записи чисел, но и первыми научились решать квадратные уравнения, чему теперь учат всех детей в школе. У них также появились намеки на теорему Пифагора о прямоугольных треугольниках. Однако нет никаких свидетельств того, что вавилоняне ценили красоту простых чисел.

Рис. 1.13

Центральноамериканская цивилизация майя находилась в своем расцвете с 200 по 900 г. Ее территория простиралась от Южной Мексики через Гватемалу до Сальвадора. У них была изощренная числовая система, разработанная для проведения сложных астрономических вычислений. Вот так они записали бы число 17. В отличие от египтян и вавилонян, основанием числовой системы у майя было 20. Они использовали точку для обозначения единицы, две точки – для двух, три точки – для трех. Подобно тюремному заключенному, отмечающему мелом дни на стене, они проводили черту через четыре точки, когда доходили до 5. Итак, черта соответствует пяти.