Рэймонд Смаллиан - Принцесса или тигр

Найдите истинное утверждение, которое машина не может напечатать!

2. Дважды гёделева головоломка.

Все исходные условия остаются прежними — и, в частности, то, что машина абсолютно точна. Пусть у нас имеются утверждение X и утверждение Y; одно из них является истинным, но не допускающим распечатки; однако, пользуясь лишь условиями, вытекающими из правил 1–4, мы не можем сказать, какое именно это утверждение, X или Y. Можете ли вы найти такие утверждения X и Y? (Подсказка: найти такие утверждения X и Y, чтобы утверждение X говорило нам о том, что Y допускает распечатку, а в утверждении Y говорилось бы о том, что X не допускает распечатки. Существуют два способа построения таких утверждений, причем оба они связаны с законами Фергюссона!)

3. Трижды гёделева проблема.

Построить такие утверждения X, Y и Z, чтобы X говорило о том, что Y допускает распечатку, Y говорило бы о том, что не допускает распечатки, a Z — о том, что X в свою очередь вновь допускает распечатку, и показать, что по крайней мере одно из этих утверждений (правда, нельзя сказать, какое именно) должно быть истинным, но не допускающим распечатки на машине.

Добавим к четырем нашим символам еще один — символ R. Таким образом, теперь у нас пять символов: Р, R, N, А, — . Пусть нам даны две машины, М1 и М2, каждая из которых может печатать различные выражения, составленные из этих пяти символов. При этом под символом Р в данном случае мы будем подразумевать «допускающий распечатку первой машиной», а под символом R — «допускающий распечатку второй машиной». Таким образом, запись Р-X означает, что выражение X допускает распечатку первой машиной, а запись R-X — что выражение X допускает распечатку второй машиной. Запись РА-X означает, что ассоциат выражения X допускает распечатку первой машиной, а запись RA-X показывает, что ассоциат выражения X допускает распечатку второй машиной. Наконец, «фразы» NP-X, NR-X, NPA-X, NRA-X говорят соответственно о следующем: выражение X не допускает распечатки первой машиной; выражение X не допускает распечатки второй машиной; выражение X–X не допускает распечатки первой машиной; выражение X–X не допускает распечатки второй машиной. Под утверждением мы будем теперь понимать любое выражение одного из следующих восьми типов: Р-X, R-X, NP-X, NR-X, РА-Х, RA-X, NPA-X, NRA-X. Кроме того, пусть нам известно, что первая машина печатает только истинные утверждения, а вторая — только ложные. Условимся называть некоторое утверждение доказуемым в том и только том случае, если оно допускает распечатку первой машиной, и ложным — в том и только том случае, если оно: может быть напечатано второй машиной. Таким образом, символ Р означает «доказуемый» (от англ. provable), а символ R — «опровержимый» (от англ. refutable).

4. Найдите утверждение, которое было бы ложным, но неопровержимым.

5. Имеются такие два утверждения X и Y, что одно из них (правда, нам не известно, какое именно) должно быть либо истинным, но недоказуемым, либо ложным, но неопровержимым (мы не знаем, каким именно). Такие пары можно строить двумя способами, и соответственно я предлагаю вашему вниманию две задачи:

а. Найдите такие высказывания X и Y, чтобы X утверждало доказуемость Y, a Y утверждало опровержимость X. Далее, покажите, что одно из них (мы не можем сказать, какое именно) либо истинно, но недоказуемо, либо ложно, но неопровержимо.

б. Найдите такие высказывания X и Y, чтобы Х утверждало недоказуемость Y, а Y утверждало неопровержимость X. Далее покажите, что одно из этих высказываний, X или Y (мы не можем сказать, какое именно), либо истинно, но недоказуемо, либо ложно, но неопровержимо.

6. А теперь рассмотрим задачу с четырьмя неизвестными! Пусть нам требуется найти такие высказывания X, Y, Z и W, чтобы X утверждало доказуемость Y, Y утверждало опровержимость Z. Z утверждало опровержимость W, a W утверждало бы неопровержимость X. Покажите, что одно из этих четырех высказываний должно быть либо истинным, но недоказуемым, либо ложным, но неопровержимым (хотя, какое из этих четырех будет именно таким высказыванием, сказать невозможно).

Возможно, читатель уже отметил определенное сходство приведенных выше задач с некоторыми свойствами первой машины Мак-Каллоха. В самом деле, работа этой машины оказывается связанной с теоремой Гёделя, и вот каким образом.

7. Пусть у нас имеется некоторая математическая система, приводящая к набору утверждений, одни из которых называются истинными, а другие — доказуемыми. Мы предполагаем также, что эта система правильная, то есть каждое доказуемое в ней утверждение является истинным. Далее, пусть каждому числу N ставится в соответствие некоторое утверждение, которое мы будем называть утверждением N. Предположим наконец, что наша система удовлетворяет следующим двум условиям.