Рэймонд Смаллиан - Принцесса или тигр

Ассоциатом выражения X мы будем называть выражение X–X; при этом вместо слова «ассоциат» нами будет использоваться символ А (от англ. associate). Таким образом, если нам задано некоторое выражение X и мы хотим сказать, что ассоциат выражения X допускает распечатку, то будем записывать это как РА-X. Если мы теперь хотим сказать, что ассоциат утверждения X не допускает распечатки, то это будет записываться как NPA-X.

Читателя, быть может, удивляет, что мы используем тире в качестве своеобразного символа. В самом деле, почему, когда нам нужно высказать суждение о том, что выражение X допускает распечатку, вместо записи Р-X не писать просто РХ? Это делается для того, чтобы избежать определенной двусмысленности. В самом деле, что, например, может означать запись PAN, если мы откажемся от тире? Она может означать либо что ассоциат выражения N допускает распечатку, либо что допускает распечатку выражение AN. Если же мы пользуемся тире, то подобной двусмысленности не возникает. Так, если мы хотим сказать, что ассоциат выражения N допускает распечатку, то записываем этот факт как РА-N; если же хотим сказать, что допускает распечатку выражение AN, то пишем Р-AN. Предположим теперь, нам нужно сказать, что выражение — X допускает распечатку. Правильно ли будет записать эту фразу как Р-Х? Нет, ведь запись Р-X означает, что выражение X допускает распечатку. Поэтому чтобы сказать, что допускает распечатку выражение — X, нужно написать Р-X.

Рассмотрим еще несколько примеров: запись Р- означает, что «-» допускает распечатку, запись РА- означает, что выражение (ассоциат выражения-) допускает распечатку; запись Р- также означает, что «-» допускает распечатку; запись NРА-Р-А означает, что ассоциат выражения — Р-А не допускает распечатки, или, другими словами, что не допускает распечатки выражение — Р-А-Р-А. То же самое означает и запись вида NP-Р-А-Р-А.

Утверждением будем называть любое выражение одного из следующих четырех типов: Р-X, NP-X, РА-X или NPA-X, где X — любое выражение. Утверждение Р-X мы будем называть истинным, если X допускает распечатку, и ложным, если X с допускает распечатки. Утверждение NP-X мы будем называть истинным, если X не допускает распечатки, и ложным, если X эту распечатку допускает, утверждение РА-X будет называться истинным, если ассоциат выражения X допускает распечатку, и ложным, если ассоциат этого X распечатки не допускает. Наконец, утверждение NA-X мы будем называть истинным, если ассоциат выражения X не допускает распечатки, и ложным, если ассоциат этого X распечатку допускает. Итак, мы дали точное определение истинности и ложности для утверждений всех четырех видов. Отсюда следует, что для любого выражения X справедливы:

Правило 1. Утверждение Р-X истинно тогда и только тогда, когда выражение X допускает распечатку (на машине).

Правило 2. Утверждение РА-X истинно тогда и только тогда, когда выражение X–X допускает распечатку.

Правило 3. Утверждение NP-X истинно тогда и только тогда, когда выражение X не допускает распечатки.

Правило 4. Утверждение NPA-X истинно тогда и только тогда, когда выражение X–X не допускает распечатки

Удивительное дело! Машина печатает утверждения, которые представляют собой не что иное, как суждения о том, что она сама может и что не может напечатать! В этом смысле машина говорит о себе (или точнее, печатает утверждения о самой себе).

Пусть теперь нам известно, что машина на 100 % точна, то есть она не может выдать нам ложное утверждение, печатая только истинные утверждения. Отсюда вытекает ряд следствий. Например, если машина в один прекрасный день напечатает утверждение Р-X, то, значит, она должна напечатать и выражение X, потому что раз она может напечатать утверждение Р-X, то, стало быть, это утверждение истинно, а это означает, что выражение X допускает распечатку. Значит, действительно, машина рано или поздно должна распечатать выражение X.

Аналогично, если машина выдаст нам утверждение РА-X, тогда (поскольку утверждение РА-X должно быть истинным) она должна напечатать нам также и выражение X–X. Помимо этого, если машина напечатает утверждение NP-X, тогда она не сможет напечатать утверждение Р-X, поскольку эти два высказывания не могут одновременно являться истинными: ведь первое из них утверждает, что машина не может напечатать выражение X, а второе — что машина может его напечатать.

Следующая задача высвечивает идею Гёделя так хорошо, что лучше трудно себе представить.

1. На редкость гёделева задача.