Чарльз Мостеллер: Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

Какова вероятность того, что корни квадратного уравнения x ² + 2 bx + c = 0 вещественны?

Выходя из начала координат 0, частица с равной вероятностью сдвигается на один шаг либо на юг, либо на север, и одновременно (и тоже с равной вероятностью) на один шаг либо на восток, либо на запад. После того как шаг сделан, движение продолжается аналогичным образом из нового положения и так далее до бесконечности. Какова вероятность того, что частица когда-нибудь вернется в начало координат? (рис. 2)

Рис. 2. Часть решетки из точек, проходимых частицей в задаче о двумерном случайном блуждании. На каждом шаге частица сдвигается из данного положения на северо-восток, северо-запад, юго-восток или юго-запад, причем все эти направления равновероятны.

Как и в предыдущей задаче, частица выходит из начала координат 0 в трехмерном пространстве. Представим себе точку 0 как центр куба со стороною длины 2. За один шаг частица попадает в один из восьми углов куба. Поэтому при каждом шаге частица с равной вероятностью сдвигается на единицу длины вверх или вниз, на восток или на запад, на север или на юг. Какова доля частиц, возвращающихся в начало, при неограниченном времени блуждания?

На плоскость нанесены параллельные прямые, отстоящие друг от друга на расстоянии 2 a . Игла длины 2 l (меньшей, чем 2 a ) брошена наудачу на плоскость. Какова вероятность того, что она пересечет одну из прямых?

Предположим, что на плоскость, разграфленную на единичные клетки вертикальными и горизонтальными прямыми, наудачу брошена игла длиной 2 l (меньшей, чем 1). Каково среднее число прямых, пересекаемых иглою? (Мы считаем, что сторона клетки 2 a равна 1, так как можно измерять длину иглы в единицах длины клеток).

Каков ответ в предыдущей задаче, если длина иглы произвольна?

Две урны содержат одно и то же количество шаров, несколько черных и несколько белых каждая. Из них извлекаются n ( n ≥ 3) шаров с возвращением. Найти число n и содержимое обеих урн, если вероятность того, что все белые шары извлечены из первой урны, равна вероятности того, что из второй извлечены либо все белые, либо все черные шары.

Свяжем с каждым натуральным числом от 1 до N число его простых делителей, сосчитанное с учетом их кратностей (так у числа 12 три простых делителя: две 2 и одна 3). Вычислим относительную частоту таких делителей для различных значений N . Что можно сказать об этом распределении при N , стремящемся к бесконечности? Возможно, что читателю пригодится тот факт, что при больших N число простых чисел, не превосходящих N , приближенно равно N /log N . Число 1 обычно не считается простым делителем, но нам будет удобно предположить, что 1 есть простой делитель числа 1, но не является простым делителем никакого другого числа.

Рассмотрим сначала численный пример. Пусть в ящике 5 красных и 2 черных носка; вероятность того, что первый вынутый носок — красный, равна 5/(5 + 2). Если первый носок — красный, то условная вероятность того, что второй носок также красный, равна 4/(4 + 2), так как один красный носок уже вынут. Произведение этих двух чисел дает вероятность того, что оба носка красные:

Это число близко к ½, но в условии задачи фигурирует ровно ½. Подойдем теперь к задаче алгебраически.

Пусть в ящике r красных и b черных носков. Вероятность того, что первый носок — красный, равна r /( r + b ) и при осуществлении этого события условная вероятность того, что второй вынутый носок также красный, есть ( r − 1)/( r + b − 1). Согласно условиям задачи вероятность того, что оба носка — красные, равняется ½, или