Чарльз Мостеллер: Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

Сколько в среднем раз надо бросать кость до появления шестерки?

В одной из популярных в Америке игр игрок бросает монету с достаточно большого расстояния на поверхность стола, разграфленную на однодюймовые квадраты. Если монета (3/4 дюйма в диаметре) попадает полностью внутрь квадрата, то игрок получает награду, в противном случае он теряет свою монету. Каковы шансы выиграть при условии, что монета упала на стол?

«Попытай счастья» — азартная игра, в которую часто играют в игорных домах и во время народных гуляний. После того как игрок сделал ставку на один из номеров 1, 2, 3, 4, 5, 6, подбрасываются три игральные кости. Если номер играющего выпадает на одной, двух или трех костях, то за каждое появление этого номера игроку выплачивается первоначальная ставка, при этом возвращаются и его собственные деньги. В противном случае игрок теряет ставку. Каков средний проигрыш игрока при единичной ставке? (В действительности можно ставить на несколько номеров одновременно, но каждая ставка рассматривается отдельно.)

Браун всегда ставит один доллар на номер 13 в американской рулетке, вопреки совету своего благожелательного друга. Чтобы отучить Брауна от игры в рулетку, этот друг спорит с ним на 20 долларов, утверждая, что Браун останется в проигрыше после 36 игр. Имеет ли смысл Брауну принять такое пари?

(Большинство американских рулеток имеет 38 одинаково вероятных номеров. Если выпадает номер игрока, то он получает свою ставку обратно, плюс же сумму в 35-кратном размере, если нет — теряет свою ставку.)

Часто приходится слышать, что некто при игре в бридж получил на руки 13 пик. Какова вероятность, при условии, что карты хорошо перетасованы, получить 13 карт одной масти? (Каждый из четырех игроков в бридж получает 13 карт из колоды в 52 карты.)

Игра в «крэпс», для которой нужна только пара костей и совсем немного времени — одна из популярнейших в Америке. С ней связана следующая поучительная задача на подсчет вероятностей.

Правила такие. Игрок бросает две кости и подсчитывает сумму выпавших очков. Он сразу же выигрывает, если эта сумма равна 7 или 11, и проигрывает, если она равна 2, 3 или 12. Всякая другая сумма — это его «пойнт». Если в первый раз выпадает «пойнт», то игрок бросает кости еще до тех пор, пока он или не выиграет, выбросив свой «пойнт», или не проиграет, получив сумму очков, равную 7. Какова вероятность выигрыша?

(а). Урна содержит 10 черных и 10 белых шаров, отличающихся лишь цветом. Один шар вытаскивается наружу, и если его цвет совпадает с выбранным вами, то вы получаете 10 долларов, в ином случае — ничего. Сообщите максимальный взнос, который вы готовы сделать для участия в игре. Игра проводится лишь один раз.

(б). У вашего друга имеется много белых и черных шаров, и он заполняет ими урну по своему усмотрению. Вы выбираете «черное» или «белое», после чего из урны наудачу вытягиваете шар. Какую максимальную сумму вы готовы заплатить за участие в игре? Игра проводится только один раз.

О. Хелмер и Дж. Уильяме обратили внимание автора на ряд задач, которые они называют «задачами без структуры», но которые все же имеют вероятностный характер, хотя и не в обычном смысле.

Двум незнакомым людям предлагается загадать произвольное натуральное число, причем если они оба называют одно и то же число, то получают премию. Какое бы число загадали вы?

Двое незнакомых людей, договорившись о том, как узнать друг друга, должны встретиться в определенный день и час в Нью-Йорке, городе, которого они оба не знают. Однако они забыли назначить место встречи. Куда им следует направиться, если они все же попытаются встретиться? [2] Для решения задачи нужно, конечно, знакомство с наиболее часто посещаемыми местами Нью-Йорка. См. обсуждение задачи (прим. перев.) .

Три узника, A , B и C , одинаково хорошего поведения ходатайствовали об освобождении на поруки. Администрация решила освободить двух из трех, что стало известно узникам, которые, однако, не знают, кто именно эти двое. У заключенного A в охране есть друг, который знает, кого отпустят на свободу, но A считает неэтичным осведомиться у охранника, будет ли он, A , освобожден. Все же A хочет спросить об имени одного узника, отличного от самого A , который будет отпущен на свободу. Прежде чем спрашивать, он оценивает вероятность своего освобождения как 2/3. A думает, что если охранник скажет « B будет освобожден», то его шансы уменьшатся до ½, так как в этом случае будут освобождены либо A и B , либо B и C . Однако A ошибается в своих расчетах. Объясните это.