Всеволод Беллюстин - Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

Рѣшеніе ариѳметическихъ задачъ всегда было несвободно от разныхъ недочетовъ, которые имѣютъ мѣсто и въ наше время и объясняются исторически. Во-первыхъ, даются ученикамъ иногда такія задачи, которыя псрежили самихъ себя и утеряли смыслъ, пс тому что времена измѣнились; примѣромъ можетъ служить задача о курьерахъ; теперь уже вездѣ телеграфы, телефоны, сообщенія по желѣзнымъ дорогамъ, и поэтому нѣтъ никакой надобности посылать конныхъ курьеровъ, это было 50—100 лѣтъ тому назадъ, а сейчас это анахронизмъ. Во-вторыхъ, рѣшеніе задачъ никакъ не можетъ освободиться отъ того элемента механичности, который сжился съ ним въ теченіе многихъ сотенъ лѣтъ. Прежде всякая школа была главнымъ образомъ школой спеціальной и имѣла ввиду сообщить ученику навыки и умѣнья, пригодные ему для извѣстной отрасли жизненной дѣятельности. Теперь, наоборотъ, школа проникла въ масс народа, сдѣлалась общедоступной и должна быть поэтому общеобразовательной, развивающей душевныя силы дѣтей и воспитывающей.

Съ этой точки зрѣнія не такъ важно количество задачъ, и не такъ важны ихъ отдѣлы, какъ важенъ путь ихъ рѣшенія. Надо чтобы рѣшеніе задачъ основывалось на соображеніи и развивало сообразительность, а не строило свою опору только на привычкѣ и простомъ запоминаніи.

Все вниманіе составителей сборниковъ должно сосредоточиваться на томъ, чтобы расположить работу строго послѣдовательно и систематично, съ переходомъ отъ простого къ сложному и отъ нагляднаго къ отвлеченному, безъ рѣзкихъ скачковъ отъ легкаго къ трудному. Если такъ расположить задачи, то ученикъ самъ, своимъ личнымъ мышленіемъ будетъ доходить до рѣшенія все болѣе и болѣе сложныхъ задачъ. Въ такомъ случаѣ учителю не придется на каждомъ шагу наставлять ученика и помогать ему: все дѣло учителя сосредоточится на подборѣ матеріала, расположеннаго цѣлесообразно. Методъ самостоятельнаго вывода—идеальный методъ въ математикѣ, и ему въ ней предстоитъ будущность.

Между тѣмъ, въ послѣдніе годы, отчасти подъ вліяніемъ строгихъ экзаменныхъ требованій, вошло въ моду дѣленіе ариѳметическихъ задачъ на мелкіе типы. Это вредное увлеченіе. Оно ведетъ къ выучкѣ и встряхиваетъ опять тѣ порядки, которые стали было затягиваться пылью сѣдой старины [9] Изобрѣтеніемъ всевозможныхъ типовъ и многочисленныхъ правилъ отличился еще въ средніе вѣка германскій педагогь Видманнъ (въ 15 ст.). Съ него пошли эти порядки. . Не дробленіе на типы, главнымъ образомъ по внѣшнему виду, но строго постепенный подборъ сослужитъ службу при рѣшеніи задачъ, подводить же подъ типы—дѣло ученика, и тотъ, кто снимаетъ съ него эту работу мысли, тѣмъ самымъ лишаетъ его значительной части той пользы, какая происте-каетъ отъ занятій математикой.

Если взять десятокъ-другой учебниковъ ариѳметики, изданныхъ въ послѣдніе годы на русскомъ языкѣ, то увидимъ, что всѣ они очень похожи другъ на друга. Если просмотрѣть учебники на раз-ыхъ языкахъ за послѣднее столѣтіе, то увидимъ разницу въ матеріалѣ и въ его объяененіи. Но эта разница сдѣлается рѣзко-очевидной, если сопоставить учебники древняго времени съ учебниками новаго. О характерѣ объясненій въ старинное время или, вѣрнѣе, объ отсутствіи объясненій мы уже упоминали. Но самое содержаніе ариѳметики сейчасъ далеко не то, каково оно было прежде. Приведемъ нѣсколько подробностей.

Въ ариѳметикѣ, составленной Павломъ Цвѣтковымъ (1834 г.), есть отдѣлъ объ извлеченіи квадратныхъ и кубическихъ корней. Этотъ отдѣлъ исключенъ изъ ариѳметики вообще около средины 19-го вѣка. Корни извлекаются у Цвѣткова изъ отвлеченныхъ чиселъ и изъ именованныхъ. Напр., корень квадратный изъ 4 дней 302 час. 369 мин. квадратныхъ составляетъ 2 дня 3 часа 3 мин.; при этомъ вводится квадратный день, въ которомъ 576 квадр. ч. и кв. часъ въ 3600 кв. минутъ — все это несообразности.

До второго десятилѣтія 19-го в. вставлялись въ ариѳметику логариѳмы, и это начали дѣлать съ самаго ихъ примѣненія къ математикѣ, т. е. съ 17 ст. У Василія Загорскаго (1806 г.) логариѳмы подробно объяснены, и къ нимъ приложены таблицы; въ этихъ таблицахъ содержатся логариѳмы чиселъ до 10000 съ семью десятичными знаками.

Въ «Начальныхъ основаніяхъ ариѳметики», сочиненныхъ Степаномъ Румовскимъ (1760 г.), помѣщены прогрессіи, которыя мы встрѣчаемъ у всѣхъ его предшественниковъ. У Магницкаго въ его извѣстной «Ариѳметикѣ, сирѣчь наукѣ числительной», которая «съ разныхъ діалектовъ на славенскій языкъ преведена, и во едино собрана, и на двѣ книги раздѣлена», вся вторая книга, т. е. вторая половина, содержитъ такіе отдѣлы, которые сейчасъ у насъ не признаются ариѳметическими и ни въ какомъ случаѣ не помѣщаются въ учебникахъ ариѳметики. Это, во-первыхъ, ариѳметика-алгебраика, по нашему сказать алгебра, съ ея нумераціей и дѣйствіями и съ извлеченіемъ такихъ мудреныхъ корней, что одно названіе ихъ приводитъ въ недоумѣніе: биквадратъ или зензизензусъ—корень 4-й степени, солидусъ или сурдесолидусъ—5-й степени, квадратокубусъ или зензикубусъ—6-й степени, бисурдесолидусъ или бисолидусъ—7-й степени, триквадратъ или зензизензусъ отъ зенза—8-й степени, бикубусъ, кубокубусъ, сугубый кубусъ—9-й ст.; квадратъ солида, зенсурдесолидъ—10-й ст.; кубосурдесолидъ, терсолидъ—11-й ст., биквадрато-кубусъ — 12-й ст. За этими корнями, которые, впрочемъ, болѣе страшны и обширны своими названіями, чѣмъ процессомъ извлеченія, идетъ ариѳметика-логистика или астрономская «како въ градусахъ, минутахъ и секундахъ, и въ прочихъ колесъ сѣченіяхъ дѣйство и чинъ ариѳметика содержитъ»; здѣсь просто-напросто показывается, какъ дѣлать вычисленія съ градусами, минутами и секундами. Потомъ идетъ еще приложеніе, и на этотъ разъ геометрическаго характера «о геометрическихъ черезъ ариѳметику дѣйствуемыхъ», гдѣ рѣшаются примѣры на вычисленія площадей и объемовъ, и даже сообщаются свѣдѣнія изъ тригонометріи. Въ заключеніе идетъ глава «о земномъ размѣреніи и яже къ мореплаванію прилежатъ», тутъ есть таблицы широтъ и долготъ, описаніе вѣтровъ и т. п. Какое разнообразіе содержанія! Можно сказать, что ариѳметика Магницкаго— это цѣлая энциклопедія; въ ней собраны всевозможные случаи, гдѣ только можетъ пригодиться вычисленіе: и изъ хозяйетва, и изъ ремеслъ, и изъ гражданской и военной жизни. Сочинитель заботился, чтобы его книга всѣхъ удовлетворила и ни одного вопроса не оставила безъ отвѣта, чтобы она всецѣло соотвѣтствовала требованіямъ практики.