Всеволод Беллюстин - Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

«И умствуй изъ 10 3-хъ: и придеть 3, еже напиши за чертою. А осталось изъ 10, 1, иже есть общій всѣмъ тремъ и пишется послѣди сице: ⅓.»

Больше никакихъ разъясненій нѣтъ совершенно. Слѣдующій примѣръ дѣленія съ остаткомъ приведенъ на стр. 21, и тутъ уже прямо подписанъ отвѣтъ 77446399 : 2864=27041 968/ 2864. Затѣмъ встрѣчается еще немало примѣровъ дѣленія съ остаткомъ, и во всѣхъ въ нихъ остатокъ подписывается именно такимъ образомъ, т.-е. въ видѣ числителя дроби, у которой дѣлитель служитъ знаменателемъ. Трудно сказать, что хотѣлъ изобразить этимъ Магницкій: хотѣлъ ли онъ представить отвѣтъ въ видѣ цѣлаго числа съ дробью, или же это вовсе, по его мнѣнію, не дробь, а только своебразное обозначеніе дѣленія съ остаткомъ. Если это дробь, то лучше было бы отложить ее до полнаго разсмотрѣнія дробей, или, въ крайнемъ случаѣ, подробно ее объяснить; если же это не дробь, и если черта не отдѣляетъ числителя отъ знаменателя, то какая же сбивчивость и неясность возникнетъ для ученика, когда онъ начнетъ изучать дроби и увидитъ, что онѣ пишутся почему-то точно такъ же, какъ и остатокъ съ дѣлителемъ при дѣленіи съ остаткомъ. Почему все это такъ? Едва ли умъ ученика будетъ въ состояніи переварить этотъ вопросъ, и, вѣроятно, придетсяему бѣдному просто запомнить и затвердить, не мудрствуя сверхъ силъ.

На стр. 42 начинается у Магницкаго вторая часть ариѳметики, въ которой говорится «о числахъ ломаныхъ или съ долями».

«Что есть число ломаное?» — «Число ломаное ничто же ино есть, токмо часть вещи, числомъ объявленная, сирѣчь полтина есть, половина рубля, а пишется сице ½ рубля, или четь ¼, или пятая часть 1/ 5или двѣ пятыя части 2/ 5и всякія вещи яковыя либо часть, объявлена числомъ, то есть ломаное число».

Затѣмъ идетъ «нумераціо», или «счисленіе въ доляхъ», т.-е. дается рядъ дробныхъ примѣровъ и указывается, какъ ихъ выговаривать.

Полезно еще здѣсь объяснить, что значатъ старинныя русскія выраженія «полтретья», «полпята» и т. п, Полпята вовсе не значитъ половина пяти, но это будетъ 4½ потому что, по нашему говоря, это половина пятаго. т.-е. 4 цѣлыхъ и отъ пятаго половина. Точно такъ же полтретья значитъ половина третьяго, т.-е. 2½. У насъ осталось и сейчасъ выраженіе полтора; оно произошло изъ полвтора, т.е. половина второго, слѣд., одинъ съ половиной, 1½. Теперь понятна задача изъ Магницкаго на стр РВI [8] ЭрВэИ с титлом Примечание авт. док. : купилъ полторажды полтора аршина, далъ полтретьяжды полтретьи гривны, колико дати за полдевятажды полдевята аршина придетъ 20 рублевъ 2 алтына и 3 7/ 8полуденьги.

Умѣнье сокращать дроби восходитъ довольно далеко и замѣчается у математиковъ, жившихъ еще до Р. X. Самымъ простымъ способомъ былъ тотъ, который практикуется и у насъ, т. е. дѣленіе числителя и знаменателя на одно какое - нибудь небольшое число, въ родѣ 2, 3, 5 и т. д. Эвклидъ (за 300 л до Р. X.) въ совершенствѣ знаетъ способъ послѣдовательнаго дѣленія, т.е. когда большее число дѣлится на меньшее, меньшее на первый остатокъ, первый на второй и т. п. до тѣхъ поръ, пока не будетъ найденъ общій дѣлитель. Этотъ способъ разработанъ былъ Эвклидомъ въ геометріи и имъ же предлагается для сокращенія дробей. Въ трудѣ ученаго Боэція (въ VI ст. по Р. X.) рекомендуется послѣдовательное вычитаніе, какъ средство для сокращенія дробей; при этомъ, схоже съ Эвклидомъ, меньшее число отнимается отъ большаго столько разъ, сколько можно, первый остатокъ отнимается отъ меньшаго числа, второй остатокъ отъ перваго и т. д. до тѣхъ поръ, пока, подобно Эвклиду, не будетъ найдено общаго дѣлителя, на котораго затѣмъ и остается раздѣлить числителя и знаменателя. Кромѣ того, въ средніе вѣка составлялись довольно длинныя таблицы для сокращенія дробей; въ нихъ выписывалось подробно, на какихъ именно производителей можетъ разлагаться каждое изъ составныхъ чиселъ. Былъ и еще пріемъ довольно своеобразный. Требуется, положимъ, сократить 14/ 21. Для этого помножаемъ числителя и знаменателя дроби на такое число, чтобы новый числитель содержалъ въ себѣ прежняго знаменателя; въ нашемъ примѣрѣ достаточно помножить 14 на 3, получится 42, дѣлимъ это число на 21; будетъ 2, а весь отвѣтъ составить ⅔. Этотъ способъ можетъ и теперь иногда пригодиться, напр., въ устномъ счетѣ.

Въ старинныхъ русскихъ ариѳметикахъ сокращеніе называлось такъ: «уменьшеніе долямъ». Это выраженіе неправильно, потому что величина дроби при сокращеніи не измѣняется и, слѣд., не уменьшается, а уменьшается только числитель и знаменатель; такимъ образ., здѣсь сама дробь смѣшивается съ ея членами, а это вовсе не одно и то же. Подобный неправильнйй терминъ встрѣчается еще и сейчасъ въ нѣмецкой литературѣ: verkleinern — уменьшеніе, вмѣсто слова сокращеніе.