Е. Миркес - Учебное пособие по курсу «Нейроинформатика»

Сюръективным мультииндексом α( L) над конечным множеством Lназовем k- мерный вектор, обладающий следующими свойствами:

1. для любого i Lсуществует j ∈{1, …, k } такое, что α j=i ;

2. для любого j ∈{1, …, k } существует i ∈ Lтакое, что α j=i .

Обозначим через d (α( L), i ) число компонент сюръективного мультииндекса α( L) равных i , через | L| — число элементов множества L,а через Α( L) — множество всех сюръективных мультииндексов над множеством L.

Предложение 1.Если вектор a представлен в виде , где β i — произвольные действительные коэффициенты, то верно следующее равенство

(16)

Доказательство предложения получается возведением в тензорную степень k и раскрытием скобок с учетом линейности операции тензорного умножения.

В множестве , выберем множество X следующим образом: возьмем все ( n- 1)-мерные вектора с координатами ±1, а в качестве n- й координаты во всех векторах возьмем единицу.

Предложение 2.Множество x является максимальным множеством n- мерных векторов с координатами равными ±1 и не содержит пар противоположно направленных векторов.

Доказательство. Из равенства единице последней координаты всех векторов множества X следует отсутствие пар противоположно направленных векторов. Пусть x — вектор с координатами ±1, не входящий в множество X, следовательно последняя координата вектора x равна минус единице. Так как в множество X включались все ( n- 1) — мерные вектора с координатами ±1, то среди них найдется вектор, первые n- 1 координата которого равны соответствующим координатам вектора x со знаком минус. Поскольку последние координаты также имеют противоположные знаки, то в множестве X нашелся вектор противоположно направленный по отношению к вектору x . Таким образом множество X максимально.

Таким образом в множестве X содержится ровно 2 n -1вектор. Каждый вектор x ∈X можно представить в виде , где I⊂{1, …, n -1}. Для нумерации векторов множества X будем использовать мультииндекс I. Обозначим через | I| число элементов в мультииндексе I. Используя введенные обозначения можно разбить множество X на n непересекающихся подмножеств: P i = {x I , | I|= i }, .

Теорема. При k в множестве {x ⊗k} линейно независимыми являются

векторов.

Для доказательства этой теоремы потребуется следующая интуитивно очевидная, но не встреченная в литературе лемма.

Лемма. Пусть дана последовательность векторов

a 1, a 2= a ¹ 2+ a ² 2, a 3= a ¹ 3+ a ² 3,…, a m = a ¹ m + a ² m

таких, что ( a i , a ² j )=0 при всех i < j и ( a ¹ i, a ² i)=0, a ² i ≠0 при всех i , тогда все вектора множества { a i } линейно независимы.

Доказательство. Известно, что процедура ортогонализации Грама приводит к построению ортонормированного множества векторов, а все вектора линейно зависящие от предыдущих векторов последовательности обращаются в нулевые. Проведем процедуру ортогонализации для заданной последовательности векторов.

1. b 1= a 1/|| a 1||

2. b 2=( a 2-( a 2, b 2))/|| a 2-( a 2, b 1) b 1||. Причем a 2-( a 2, b 1) b 1≠ 0, так как ( a 1, a ² 2)=0, ( a ¹ 2-(( a 2, b 1) b 1, a ² 2)=0 и a² 2≠0.

…

j.

Причем , так как ( a i , a ² j )=0, при всех i ,

и a² j ≠0.

…

Доказательство теоремы. Произведем линейное преобразование векторов множества x с матрицей

Легко заметить, что при этом преобразовании все единичные координаты переходят в единичные, а координаты со значением –1 в нулевые. Таким образом .

По пятому свойству заключаем, что число линейно независимых векторов в множествах X и Y совпадает. Пусть 1≤ m ≤ k. Докажем, что y I ⊗kпри | I|= m содержит компоненту, ортогональную всем y J ⊗k, |J|≤ m , J≠ I.

Из предложения 1 имеем

(17)

Представим (17) в виде двух слагаемых:

(18)

Обозначим первую сумму в (18) через y I0 ⊗k. Докажем, что y I0 ⊗kортогонален ко всем y J ⊗k, |J|≤ m , J≠ I, и второй сумме в (18). Так как I≠ J, I⊄ J, существует q∈ I, q∉ J.