Александр Гротендик - Урожаи и посевы

Но у этой замечательной возможности есть и оборотная сторона, досадное последствие чисто психологического толка. С тех пор как появилось мощное средство, которому мы обязаны совершенной точностью сегодняшних доказательств, запрет на мечту в математике ужесточился еще сильней. Это значит, что мысль, опередившую свое формальное воплощение (даже если на ней основывается новое, широкое видение математической проблемы), сейчас никто не рассматривает всерьез. Ее может спасти только доказательство, выполненное по всей форме; в крайнем случае — набросок доказательства, если у него достаточно солидный вид. На худой конец (правда, в последнее время все чаще и чаще) допускаются гипотезы — и то при условии, что они конкретны, как вопросы анкеты (так, что хочется добавить: напишите «да» или «нет» в соответствующей графе). Разумеется, автор гипотез должен занимать достаточно высокое положение в математическом мире; иначе его просто не услышат. «Экспериментальных» теорий, которые основывались бы преимущественно на предположениях, в математике, насколько мне известно, до сих пор никто не развивал. Правда, по нынешним меркам, весь «анализ бесконечно малых» из семнадцатого столетия — не что иное, как сомнительные мечтания. Позднее его стали называть дифференциальным и интегральным исчислением; в серьезную науку он превратился лишь два столетия спустя, когда Коши дотронулся до него волшебной палочкой. Дописывая эти слова, я вдруг подумал о мечте Эвариста Галуа , которой в свое время преградил дорогу тот же самый Коши. На сей раз, впрочем, и ста лет не прошло, как новый волшебник, Жордан (если не ошибаюсь), взмахнув палочкой, не поднял для нее тяжелые ворота в наш математический мир. Ради такого события мечту, восстановленную в своих правах, заново окрестили «теорией Галуа».

Иногда думаешь: счастье, что такие люди, как Ньютон, Лейбниц, Галуа (многих не назову, ведь я не силен в истории…), имели возможность творить свободно, не оглядываясь на каноны. В их жизни годы не уходили на то, чтобы тщательно приводить свои открытия в «надлежащий вид»! Мысли, не слишком лестные для «математики восьмидесятых»..

В размышлениях о математических «грезах наяву» пример Галуа пришел мне на ум сам собой. История его жизни затрагивает во мне какую-то чувствительную струну. Кажется, когда я еще учился в школе или в университете, кто-то при мне завел разговор об этом человеке, о его странной судьбе. Помнится, как только я услышал эту историю, меня сразу же охватило чувство братской симпатии: как и Галуа, я был страстно увлечен математикой — и, как он, в «высшем свете» сам себе казался чужим. Правда, позднее я и сам стал одним из представителей «высшего света» в математике — но лишь с тем, чтобы в один прекрасный день, без сожаления, оставить его навсегда… Это ощущение родства заговорило ко мне с новой силой совсем недавно, когда я писал свой «Набросок программы» (составляя заявление на должность сотрудника CNRS [85]). Это был, по сути, отчет о проделанной работе: в нем я обрисовал в общих чертах все основные темы своих размышлений о математике за последние десять лет. Одна из этих тем меня сейчас особенно занимает; я собираюсь разрабатывать ее в ближайшие годы. Я бы отнес ее как раз к типу «математической мечты»; работа над ней сулит предоставить новый подход к пресловутой «мечте о мотивах». Составляя «Набросок», я вспомнил о шести месяцах в 1981 г. (с января по июнь), которые я провел в размышлении над этой замечательной темой. За последние четырнадцать лет это был единственный случай, когда я думал о математике так много времени кряду, без перерыва. «Долгий поход сквозь теорию Галуа» — так я назвал свои записки из этого периода. Мало-помалу я стал догадываться о том, что ландшафты и перспективы, то и дело мелькавшие передо мною в мечтах вот уже несколько лет, не мне первому являлись из темноты. Другой математик — более века тому назад — томился по ним же, вглядываясь в туман. Мои грезы, в конце концов получившие имя «анабелевой алгебраической геометрии» — не что иное, как продолжение, «логическое завершение теории Галуа и, без сомнения, в духе Галуа».

Когда мне открылась эта удивительная преемственность в математике (в самый момент появления двух предыдущих строк, взятых из текста «Наброска»), я ощутил прилив радости. Это живое тепло, не рассеявшееся и по сей день, вознаграждает меня за долгие годы уединенного труда. Оно пришло вдруг, я совсем не ждал его — как и той холодности, с которой двое-трое моих коллег (и давних друзей; один из них был когда-то моим учеником) позднее приняли мой пылкий рассказ… Я говорил с ними о своей новой работе, о дороге, полной находок, о горизонтах впереди; мое сердце переполняла горячая радость — и я мечтал ее с кем-нибудь разделить.