Александр Гротендик - Урожаи и посевы

По моему ощущению, это был новый шаг, после развития когомологического l- адического инструмента, по направлению к этим гипотезам. Но в то же время и прежде всего, это был один из возможных принципов подхода к тому, что мне также представляется глубочайшей из тем, введенных мной в математику [58]: к теме мотивов (порожденной «когомологической l- адической темой»). Эта тема — как сердце , или душа, самая затаенная, лучше всего скрытая от взгляда часть теории схем, которая сама по себе — ядро нового видения. И сколько ни есть ключевых явлений в стандартных гипотезах [59], они могут рассматриваться как составляющие нечто вроде последней квинтэссенции темы мотивов, как вдохновение , жизненно важное для самой хрупкой и изощренной из всех тем, «ядра в ядре» новой геометрии.

Вот, в общих чертах, суть вопроса. Мы уже видели, как важно (в особенности с точки зрения гипотез Вейля) для простого числа р уметь построить «когомологические теории» для «многообразий (алгебраических) в характеристике р ». Знаменитый «когомологический l- адический инструмент» предоставляет именно такую теорию, и даже бесконечное множество различных когомологических теорий , каждая из которых соответствует какому-нибудь простому числу l , отличному от характеристики р . Очевидно, здесь есть «недостающая теория», соответствующая случаю равенства между l и р. Чтобы с этим справиться, я нарочно выдумал другую когомологическую теорию (которая уже недавно упоминалась), называемую «теорией кристальных когомологии». Впрочем, для важного случая бесконечного р имеются в распоряжении еще три когомологические теории [60]— и никакой гарантии, что не придется рано или поздно ввести новые когомологические теории с совершенно аналогичными формальными свойствами. В противовес тому, что творится в обычной топологии, здесь мы поставлены перед фактом ошеломляющего изобилия различных когомологических теорий. Обрисовывается вполне отчетливое ощущение (сначала оно было довольно туманным), что все теории стремятся «свестись к одной», что они «дают одни и те же результаты» [61]. Именно затем, чтобы выразить это интуитивное ощущение «родства» между различными когомологическими теориями, я вывел на свет понятие мотива , отвечающего алгебраическому многообразию. Этим термином я хотел навести на мысль, что речь идет об «общем мотиве» (или «общей причине»), скрытом в глубине огромного множества различных априори возможных когомологических инвариантов. Эти различные когомологические теории стали бы, как тематические разработки, каждая в «темпе», «ключе» и «ладу» («мажорном» или «минорном»), какие ей подобают — одного и того же «основного мотива» (называемого « мотивной когомологической теорией»), который в то же время является наиболее фундаментальным, или самым «утонченным» из всех этих различных «воплощений» темы (то есть из всех возможных когомологических теорий). Так, мотив, соответствующий алгебраическому многообразию, образовывал бы «окончательный», «в полном смысле этого слова», когомологический инвариант, из которого все прочие (соответствующие всевозможным когомологическим теориям) выводились бы, как «воплощения» музыкальной темы, ее различные «реализации». Все важнейшие свойства когомологии многообразия проявлялись бы (или «слышались бы») уже в соответствующем мотиве, как если бы знакомые свойства и структуры на отдельных когомологических инвариантах ( l- адических или кристальных, например), стали бы попросту точными отражениями свойств и структур, заключенных в мотиве [62].

Вот, выраженная языком не математической техники, но музыкальной метафоры, квинтэссенция еще одной идеи младенческой простоты, тонкой и смелой одновременно. Я развивал эту идею в рамках основных задач, которые считал наиболее неотложными, под заголовком «теория мотивов», или «философия (йога) мотивов», во все время с 1963 по 1969 гг. Эта теория, с ее завораживающим структурным богатством, во многом остается еще на стадии предположений [63].

Я несколько раз говорю на страницах «РС» о «йоге мотивов» — о том, что представляется мне особенно важным. Здесь излишне рассуждать о том, о чем уже сказано в другом месте. Достаточно указать, что сами «стандартные гипотезы» берут начало в мире йоги мотивов, вытекая из нее естественным образом. В то же время они предоставляют принцип подхода к одной из возможных конструкций понятия мотива.