Александр Гротендик - Урожаи и посевы

Год 1957 г. — тот самый, когда мне удалось настичь по горячему следу тему «Римана-Роха» (версия Гротендика), которая сразу же принесла мне «всеобщую известность». Это также год смерти моей матери, то есть резко выделенный в моей жизни — и один из наиболее интенсивно творческих, причем не на одной только математической ниве. Двенадцать лет уже шло тому, как все мои силы были вложены в математику. И я вдруг ясно почувствовал, что мои занятия сделали почти «полный оборот» по кругу, так что на часах, пожалуй, время их оставить и взяться за что-то другое. Очевидно, то была потребность духовного обновления, впервые тогда ко мне подступившая. Я собрался было стать писателем, и на многие месяцы прекратил всякую деятельность, связанную с математикой. Под конец я решил, что запишу черным по белому хотя бы те математические работы, какие у меня уже были начаты; без сомнения, дело нескольких месяцев, года самое большее…

Бесспорно, однако, что к безвозвратному скачку на иные круги я тогда еще готов не был. Всякий раз, как я ни пытался взяться снова за математический труд, выходило так, что это он меня захватывал, да накрепко. Еще на двенадцать лет, не выпуская!

Год, последовавший за этой паузой (1958), был, наверное, самым плодотворным для меня как математика. Это год появления двух центральных тем новой геометрии: бурного старта теории схем (предмет моего доклада на международном математическом конгрессе в Эдинбурге летом того же года) и возникновения понятия ситуса , то есть предварительной, технической версии важнейшего понятия топоса . Сейчас, в перспективе почти что тридцати лет, я могу утверждать, что то был воистину год рождения нового геометрического видения, последовавшего за вступлением в силу двух главных инструментов этой геометрии: схем (которые являют собой метаморфозу старого понятия «алгебраического многообразия») и топоса (представляющего результат преображения — еще более глубокого, чем в случае схем — понятия пространства).

Мне в первый раз пришло в голову этому видению дать название в «Раздумьи» от 4 декабря 1984 г. (сноска n ° 136/1 к примечанию «Инь-слуга (2), или великодушие» — PC III, стр. 637).

То, что этот образ должен оставаться расплывчатым, нисколько не мешает ему быть верным истинной сути объекта, о котором идет речь (в данном случае моего труда). Наоборот, образ ясный и отчетливый может оказаться сильно искаженным, и к тому же содержать в себе лишь побочные, второстепенные черты объекта, совершенно опуская главные. И потом, если в тебе «найдет зацепку» то, что я скажу о своем труде (а тем самым, разумеется, и кое-что от того образа, который действительно «проносится» предо мной), ты сможешь похвастаться куда лучшим пониманием его сути, чем, пожалуй, любой из моих ученых коллег.

Здесь имеются в виду «натуральные числа» 0, 1, 2, 3 и т. д., или (в крайнем случае) числа (дробные), которые нужны как подручные для выполнения элементарных действий. Они не претендуют на то, чтобы, подобно «вещественным числам», измерять величины, способные к непрерывному изменению — такие, как расстояние между двумя точками, движущимися вдоль прямой, на плоскости или в пространстве.

Я использую сочетание слов «захлестывающий, сверх всякой меры», чтобы кое-как передать выражение «uberwaltigend» из немецкого и его английский эквивалент «overwhelming». В предыдущем предложении выражение (неадекватное) «захватывающее ощущение» следует воспринимать со следующей окраской: то, что бывает, когда мы сталкиваемся с невероятным великолепием, величием и красотой вне рамок обыденного, так, что чувства лавиной обрушиваются на нас — и тогда любая робкая попытка описать, что творится с нашими душами, заранее обречена на неудачу.

Я знал об этой «мечте Кронекера» лишь понаслышке до тех пор, пока кто-то (вполне возможно, что это был Джон Тэйт) не сказал мне, что я нахожусь в процессе ее осуществления. Образование, которое я получал от старших коллег, ссылки на историю включало редко. Восполнялось это не чтением современных или сколько-нибудь древних авторов, но в первую очередь общением с другими математиками, непосредственным или по переписке, начатой старшими. Основным, даже может быть, единственным, внешним источником вдохновения для внезапного и бурного старта теории схем в 1958 г. была статья Серра, хорошо известная под сокращением АКП («Алгебраические когерентные пучки»), которая вышла в свет на несколько лет раньше. В остальном же все дальнейшее развитие теории питалось энергией, истекавшей по сути от нее самой. Поток этот возобновлялся с годами, хотя бы только в соответствии с требованиями простоты и внутренней согласованности, в попытке рассмотреть в новом контексте все «хорошо известное» в алгебраической геометрии (и усвоенное мной по мере того, как преобразовывалось, проходя через мои руки) — и то еще, что это «известное» дало мне возможность предугадать.