Георгий Гамов - Занимательная математика

— Очень, очень интересно, — произнес Джек. — Надо будет как-нибудь на маневрах проверить решение на четырех истребителях. Вот потеха поличится!

— А вот еще одна задача, которая, возможно, заинтересует вас, друзья, — вмешался в разговор другой летчик. — Предположим, что вы получили задание доставить бомбу в некоторую удаленную точку земного шара, расстояние до которой но много раз превосходит дальность полета без дозаправки имеющегося в вашем распоряжении самолета. Вам не остается ничего другого, как воспользоваться методом дозаправки в воздухе. Предположим, что одновременно с одного и того же аэродрома взлетают несколько одинаковых самолетов, которые дозаправляют друг друга в воздухе и постепенно, один за другим, прекращают полет.

Сколько самолетов понадобится вам для выполнения задания? Для простоты мы будем предполагать, что расход топлива измеряется в милях на галлон [15] Единица объема, В США, где происходит действие этой задачи, 1 галлон для жидкости (топлива) равен 3,78543 дм 3 . — Прим. перев . и не зависит от нагрузки самолета.

— Знаешь, мы все слишком устали, чтобы решать такие сложные задачи, поэтому ты просто сообщи нам решение, — предложил один из летчиков.

— Будь по-вашему. Предположим, что первоначально в вашем распоряжении имеется nодинаковых самолетов, включая тот, на борту которого находится бомба, и что топливные баки всех самолетов перед вылетом полностью заправлены. В полете наступает такой момент, когда в баках любого из псамолетов топлива остается ровно столько, сколько необходимо для полной заправки топливных баков всех ( n— 1) остальных самолетов. Например, если с аэродрома в полет отправились 10 самолетов и каждый нес в топливных баках 10 000 галлонов топлива, то они летят до тех пор, пока у каждого не останется по 9000 галлонов топлива. В этот момент все топливо, находящееся на борту одного из 10 самолетов, используется для дозаправки 9 остальных самолетов, самолет с опустошенными баками прекращает полет, а остальные самолеты продолжат полет с полностью заправленными топливными баками. Следующая дозаправка производится, когда запас топлива в баках каждого самолета уменьшится на 1/9.

Самолет-заправщик, отдав все имевшееся у него топливо, совершает посадку, а остальные 8 самолетов с полностью заправленными топливными баками продолжают полет. Следующие дозаправки производятся, когда запас топлива в баках калсдого самолета уменьшится на 1/8, 1/7 и т. д., пока не останется один-единственный самолет, на борту которого находится бомба. Израсходовав все топливо до последней капли, он достигает цели и сбрасывает бомбу.

Обозначив дальность полета без дозаправки через R, количество самолетов — через п, мы получаем формулу для расстояния до цели, которое может преодолеть самолет — носитель бомбы:

Например, при n= 10 сумма в квадратных скобках равна 2.929. Это означает, что при такой схеме дозаправки, о которой я только что рассказал, можно долететь до цели, находящейся почти втрое дальше, чем позволяет дальность полета отдельно взятого самолета. [16] Читатель, должно быть, уже заметил, что в квадратных скобках стоит тот же бесконечный ряд, с которым мы уже сталкивались в задаче о наклонном столбике из домино.

Книга была написана. Мы втроем, Гамов, Стерн и еще один любитель задач-головоломок Теодор фон Карман, [17] Теодор фон Карман — выдающийся специалист в области аэродинамики. сидели в ресторанчике в Вудз Хоул за бутылкой сливовицы. Возник вопрос, поровну ли поделен крепкий напиток.

— Предположим, что все трое из нас — законченные эгоцентристы. Можем ли мы разделить сливовицу так, чтобы каждый из нас был удовлетворен, если ему достанется не меньше сливовицы, чем любому другому? — спросил Гамов. — Мы хорошо знаем, как решается эта задача в случае, когда спорят двое завистливых детей. Один из спорщиков делит предмет спора на две части, которые он считает равноценными, а другой получает право выбрать любую из двух частей по своему усмотрению. Как следовало бы обобщить эту задачу о справедливом разделе на случай трех участников спора?

Фон Карман, улыбнувшись, обратился к Стерну:

— Позвольте мне слегка переформулировать задачу, после чего вы, я в этом просто уверен, не сможете не решить ее. Рассмотрим задачу, которая ставится так: каждый из нас должен быть удовлетворен, если ему достанется по крайней мере причитающаяся ему доля сливовицы (т. е. по крайней мере 1/3 содержимого бутылки). Теперь для вас не составит труда решить задачу.