Владимир_Андреевич Успенский - Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Сегодня трудно сказать, как именно рассуждали в школе Пифагора, доказывая несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали. От старых времён дошло до нас чисто геометрическое, и притом чрезвычайно изящное, доказательство отсутствия общей меры, но является ли оно тем самым первоначальным доказательством - это неизвестно. Сейчас наиболее популярно сведбение вопроса к вопросу из теории чисел. Именно используя прямую и обратную теоремы Пифагора, легко обнаружить, что несоизмеримость стороны и диагонали квадрата равносильна невозможности решить в целых числах уравнение 2 x 2= y 2. (Мы говорим здесь лишь о положительных целых числах; разумеется, нулевые значения икса и игрека дают решение.) Боюсь, что в нашей средней школе эту равносильность не разъясняют, а очень надо бы: на этом примере демонстрируется и соотношение между прямой и обратной теоремами, и то, как одна невозможность перетекает в другую. Доказательство же указанной равносильности происходит очень просто и состоит, как и доказательство любой равносильности, из двух частей. В первой части доказывается, что если бы диагональ и сторона квадрата были соизмеримы, то существовали бы такие целые числа x и y , что 2 x 2 = y 2. Во второй части доказывается обратное утверждение: если бы такие числа существовали, то и диагональ оказалась бы соизмерима со стороной. В первой части используется прямая теорема Пифагора: если диагональ и сторона соизмеримы, то их общая мера укладывается в стороне какое-то число x раз, а в диагонали какое-то число y раз; тогда по теореме Пифагора 2 x 2 = y 2. Во второй части используется обратная теорема Пифагора: если найдутся такие целые числа x и y , что 2 x 2 = y 2, то по этой обратной теореме треугольник с длинами сторон x , x и y будет прямоугольным и его можно достроить до квадрата со стороной длины x и диагональю длины y . Таким образом, великое пифагорейское открытие было не только замечательным само по себе, но и проложило дорогу к установлению отсутствия решений у уравнений. Обнаружить, что какое-то уравнение не имеет решения (в целых числах, как в нашем примере, или в действительных числах, как уравнение x 2 = -1), подчас бывает не менее важно, чем его решить. Заметим ещё, что доказательство отсутствия целочисленных решений у уравнения 2 x 2 = y 2 настолько просто, что доступно школьнику младших классов; боюсь, что в школах его не излагают.

Разговор о несуществованиях решений мы продолжим в главах 5 и 6, а пока укажем второй общекультурный аспект открытия явления несоизмеримости. Этот второй аспект заключается в том, что открытие несоизмеримости привело, хотя и очень не сразу, к понятию действительного числа, лежащему в основе не только математики, но и всего современного естествознания и современной техники.

Глава 4. Длины и числа

Длина отрезка есть некое соотнесённое с отрезком число. Из теоремы о несоизмеримости немедленно следует, что длина диагонали единичного квадрата, то есть квадрата со стороной длины единица, не может быть выражена ни целым, ни дробным числом. Таким образом, возникает дилемма: или признать, что существуют отрезки, не имеющие длины, или изобрести какие-то новые числа, помимо целых и дробных. Человечество выбрало второе. Ввиду важности сделанного выбора изъяснимся более подробно.

Давайте осознаем, как возникает понятие длины - с логической точки зрения, но отчасти также и с исторической. Прежде всего, вводится единица измерения, то есть отрезок, длиной которого объявляется число единица. Этот отрезок называется единичным отрезком . Если теперь этот единичный отрезок укладывается в каком-то другом отрезке семь или семьдесят семь раз, то этому другому отрезку приписывается длина семь или, соответственно, семьдесят семь. Таким способом приписываются целочисленные длины всем отрезкам, такую длину имеющим. За бортом указанного процесса остаются все те многочисленные отрезки, в которых единичный отрезок не укладывается конечное число раз. Посмотрим, как обстоит дело с ними. Возьмём какой-нибудь из таких отрезков и предположим, что он соизмерим с единичным. Пусть, для примера, их общая мера укладывается в нашем отрезке 18 раз, а в единичном отрезке 12 раз. Тогда в нашем отрезке укладывается восемнадцать двенадцатых долей единичного отрезка, и ему приписывается длина восемнадцать двенадцатых. Если для двух отрезков найдена их общая мера, то для них всегда можно указать и другие общие меры - и при том в бесконечном количестве. Для рассматриваемого случая таковыми будут, скажем, мера, укладывающаяся в избранном отрезке 180 раз, а в единичном 120 раз; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 9 раз, а в единичном 6 раз; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 6 раз, а в единичном 4 раза; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 3 раза, а в единичном 2 раза. Следовательно, нашему избранному отрезку можно приписать и длину сто восемьдесят сто двадцатых, и длину девять шестых, и длину шесть четвёртых, и длину три вторых. Именно поэтому дроби 180/120, 18/12, 9/6, 6/4 и 3/2, будучи различными дробями, выражают одно и то же число. Указанные дроби можно трактовать как имена этого числа, то есть как синонимы. Таким образом, длина у отрезка единственна, хотя и именоваться может по-разному.