Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Вскоре после прохождения точки −2,717262829 при движении на запад окошко «значение функции» покажет число 0,009159890…. Затем число в этом окошке начнет снова уменьшаться до нуля. Поскольку вы читали главу 9, то вполне можете догадаться, что должно произойти. Значение функции будет убывать и убывать до нуля, который и будет достигнут при аргументе −4.

Это оказалось не слишком интересным. Начнем снова. Из точки −2, где показание «значение функции» равно 0, муравей Арг отправится на запад в точку, где значение функции было наибольшим. Но вместо того, чтобы продолжать путь на запад до −4, он резко поворачивает направо и берет курс на север вдоль верхней ветви напоминающей параболу кривой. Теперь значение функции будет все возрастать и возрастать — сначала оно достигнет значения 0,01, затем 0,1, потом (вскоре после пересечения с мнимой осью) достигнет 0,5. И когда муравей устремится на восток по верхней ветви «параболы», значение продолжит расти. Когда муравей выйдет за пределы страницы, направляясь при этом уже почти точно на восток, показание в окошке будет составлять 0,9990286. Оно все еще продолжает возрастать, но страшно медленно, и муравью придется прошагать всю дорогу до бесконечности, пока в окошке не появится 1.

Оказавшись на бесконечности, муравей Арг может захотеть развернуться и пойти обратно. Но чтобы ему не возвращаться той же дорогой, отправим его домой вдоль положительной части вещественной оси. (Не ломайте себе голову на этот счет слишком сильно. Для наших целей на самом деле имеется всего одна «точка на бесконечности», так что, раз оказавшись там, можно отправиться назад в мир настоящих конечных чисел вдоль вообще любого направления). Показания в окошке «значение функции» теперь возрастают: там будет высвечено 1,0009945751… в момент возвращения на рисунок, 1,644934066848… в момент, когда муравей Арг проходит 2 (помните базельскую задачу?), а потом при подходе к 1 показания резко взлетают вверх.

Когда муравей Арг наступает на число 1, из приборчика, который он держит в руке, раздается звонок, а в окошке «значение функции» загорается большой ярко-красный мигающий знак бесконечности ∞. Если муравей Арг посмотрит на это окошко повнимательнее, он обнаружит занятную вещь. Справа от знака бесконечности очень быстро вспыхивает и гаснет маленькая буква i . Одновременно с этим слева от бесконечности загорается и гаснет знак минус, причем тоже очень быстро, но рассогласованно с пульсациями буквы i . Дело выглядит так, будто бы окошко пытается одновременно показать четыре различных значения: ∞, −∞, ∞ i и −∞ i . Занятно!

Причина кроется в том, что у муравья Арга теперь три возможных варианта выбора (помимо возможности отправиться обратно той же дорогой, которой он пришел). Если он просто пойдет вперед, направляясь на запад вдоль вещественной оси, до тех пор пока не достигнет нуля при аргументе −2, он увидит, что значения функции становятся большими отрицательными числами типа минус одного триллиона, затем быстро доходят до отрицательных чисел умеренной величины (−1000, −100) и в конце концов достигают −1, затем −0,5, когда он наступит на точку нуль (поскольку ζ (0) = −0,5), и окончательно возвращаются к нулю при аргументе −2.

Если же из точки 1 он резко повернет направо и пойдет на север, пересекая верхнюю половину кривой овальной формы вблизи нулевой точки, то в окошке будут показаны значения функции, поднимающиеся вверх по отрицательной мнимой оси, от таких чисел, как −1000 000 i , далее через числа −1000 i и до −10 i , −5 i , −2 i и затем − i . Незадолго до пересечения с мнимой осью в окошке высветится −0,5 i . Далее, по мере приближения к нулю дзета-функции в точке −2, значения функции, разумеется, возрастут до нуля.

Чтобы помочь вам справиться со всем этим непосильным грузом, а также чтобы найти прочную привязку к миру функций (которые мы ввели с помощью таблиц в главе 3), в таблице 13.4 проиллюстрирована только что описанная прогулка против часовой стрелки по верхушке овальной кривой. Аргументами в этой таблице выбраны числа со следующими фазами (в градусах, а не радианах): 0, 30, 60, 90, 120, 150 и 180. Все числа в таблице 13.4 округлены до четырех знаков после запятой.

Таблица 13.4.Муравей Арг проходит по верхушке овала на рисунке 13.6.