Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Сегодня мы достаточно искушены в подобных взлетах воображения, и они, возможно, чуть лучше нам удаются. В действительности на сегодняшний день наряду с аналитической теорией чисел существуют алгебраическая теория чисел и геометрическая теория чисел. (Мы дойдем до некоторых элементов алгебраической теории чисел в главе 20.v.) Но в 30-х годах XIX столетия соединение концепций из двух областей, до того считавшихся не связанными друг с другом, несколько ошарашивало. Однако, прежде чем можно будет познакомить вас с главным действующим лицом в этой части нашей истории, надо сказать еще кое-что о тех двух дисциплинах, которые он друг с другом соединил.

В то время, о котором у нас идет речь, — в начале XIX столетия — анализ оставался самой новой и самой привлекательной частью математики, где совершались великие достижения и где работали самые проницательные умы. К концу столетия об арифметике, геометрии и алгебре было известно больше, чем в начале, но об анализе — намного больше. В самом же начале того столетия основную концепцию анализа — концепцию предела — ясно не представляли себе и лучшие умы. Если бы вы спросили Эйлера или даже молодого Гаусса, о чем идет речь в анализе, они сказали бы: «О бесконечном и инфинитезимальном». Но если бы вы вслед за тем спросили Эйлера, а что же в точности означает «бесконечное», он бы разразился приступом кашля и ушел из комнаты или же развернул дискуссию о значении слова «означает».

Анализ на самом деле ведет свое начало от изобретения дифференциального и интегрального исчисления Ньютоном и Лейбницем в 70-х годах XVII века. Без сомнения, идея предела — идея, разграничивающая анализ и остальную математику, — имеет фундаментальное значение для дифференциального и интегрального исчисления. Если вы хоть раз сидели в аудитории на лекции по математическому анализу, то у вас, возможно, остались смутные воспоминания о графике, на котором изображены кривая и пересекающая ее в двух точках прямая. «А теперь, — говорит лектор, — если вы будете сдвигать эти точки все ближе друг к другу, то в пределе… » — а остальное вы позабыли.

Дифференциальное и интегральное исчисление не составляют всего анализа: расходимость гармонического ряда — это теорема из анализа, но она не относится к дифференциальному и интегральному исчислению, которых просто не было в те времена, когда жил Никола Орем. Имеются и другие достаточно обширные области анализа, которые, строго говоря, не относятся к дифференциальному и интегральному исчислению. Теория меры, например, развитая Анри Лебегом в 1901 году, а также солидный кусок теории множеств. Тем не менее мне кажется справедливым сказать, что даже новейшие области анализа, не связанные с дифференциальным и интегральным исчислением, были открыты в связи с идеей совершенствования последнего: в случае Лебега — в связи с совершенствованием определения интеграла.

Концепции, которыми оперирует анализ, — «бесконечное и инфинитезимальное», как сказал бы Эйлер, или «пределы и непрерывность», как поправил бы его сегодняшний коллега, — относятся к вещам, которые всего труднее охватить человеческим умом. Вот почему дифференциальное и интегральное исчисления так пугают столь многих образованных людей. Причины всех затруднений были сформулированы на очень раннем этапе развития математики — около 450 года до P.X. греческим философом Зеноном. Каким образом, спрашивал Зенон, оказывается возможным движение? Как можно говорить о том, что стрела летит, если в каждый данный момент времени она где-то должна находиться? Если все время составлено из моментов, а движение невозможно ни в какой заданный момент, то каким же образом вообще возможно движение?

В начале XVIII века, когда дифференциальное и интегральное исчисление впервые стало известно в широких кругах образованной публики, понятие бесконечно малого сделалось объектом многочисленных насмешек. Известным скептиком был ирландский философ Джордж Беркли (1685-1753 гг.; это его именем назван город в Калифорнии): «А что из себя представляют эти приращения текущих величин? Это не конечные величины, не бесконечно малые, ни даже ничто. Не следует ли называть их призраками почивших величин?»

Трудности, с которыми давались эти идеи, напоминают нам о том, что на определенном уровне математическое мышление является глубоко неестественным. Не говоря уже об анализе, это относится и к основам арифметики. В предисловии к Principia Mathematica Уайтхед и Рассел отмечали: