Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Важно понимать, что табличка, подобная таблице 3.1, — это только модель функции. Сколько имеется простых чисел, меньших числа 31 556 926? Можно было бы ответить, внедряя в табличку дополнительные строки, но с учетом моего намерения удержать число страниц этой книги в некоторых разумных пределах имеется, очевидно, ограничение на то, сколько строк я могу вставить. Приведенная таблица — не более чем модель функции, ее «моментальный снимок», сделанный при определенных аргументах (выбранных с некоторым дальним прицелом).

На самом деле обычно не существует хорошего способа показать функцию во всей ее красе. Иллюстрировать какие-то конкретные свойства функции иногда помогает график, но в данном случае он достаточно бесполезен. Если вы попытаетесь изобразить содержимое таблицы 3.1в виде графика, вы быстро поймете, что я имею в виду. Усилия по построению графика дзета-функции, которые будут предприняты в главе 9.iv, прояснят этот момент. Математики обычно получают некоторое общее представление о конкретной функции, тесно работая с ней в течение достаточно длительного времени, наблюдая при этом за всеми ее свойствами и особенностями. С помощью таблицы или графика не часто удается охватить функцию целиком.

Еще о функциях надо заметить, что наиболее важные из них носят имена. А действительно важные обозначаются специальными символами. Функция, модель которой приведена в таблице 3.1, носит имя «функции числа простых чисел» и обозначается символом π(N), что читается как «пи от эн».

Знаю, знаю — может возникнуть путаница. Ведь π — это отношение длины окружности к ее диаметру, то самое невыразимое

Но новое использование символа π не имеет к этому числу ровно никакого отношения. В греческом алфавите всего 24 буквы, и к тому времени, как математики собрались дать имя этой функции (лично ответственный за это — Эдмунд Ландау, который ввел такое обозначение в 1909 году, — см. главу 14.iv), все 24 буквы уже были порядком израсходованы, и пришлось пустить их по кругу. Мне жаль, что так получилось, но это не моя вина. Данное обозначение в настоящий момент является абсолютно стандартным, так что его придется терпеть.

(Если вы хоть раз занимались мало-мальски серьезным программированием на компьютере, то вам знакома концепция перегрузки символа. Использование буквы π для двух совершенно различных целей есть некоторое подобие перегрузки этого символа.)

Итак, функция π(N) определена как число простых чисел до N (включая само N , хотя это довольно редко имеет значение, и я не буду особенно следить за употреблением выражений «меньших, чем» и «не превышающих»). Но вернемся к нашему основному вопросу: есть ли какое-нибудь правило, какая-нибудь изящная формула, которая даст нам значение π(N) , избавив от необходимости заниматься счетом?

Позвольте мне устроить небольшой фокус с таблицей 3.1. Я поделю первую колонку на вторую — аргументы на значения. Я не гонюсь за безумной точностью. И вообще буду пользоваться карманным калькулятором за 6 долларов, с которым я хожу в супермаркет. Вот что получается: 100 разделить на 168 даст 5,9524; 1 000 000 разделить на 78 498 даст 12,7392. Еще четыре результата подобного же вычисления дают нам таблицу 3.2.

Таблица 3.2.

Посмотрим пристально на эти значения. Они всякий раз возрастают на 7. Точнее, на число, которое болтается между 6,8 и 7,0. Может, вам это и не кажется чем-то особенно чудесным, но когда математик видит такую таблицу, над головой у него ярко вспыхивает лампочка и определенное слово приходит ему на ум. Позвольте объяснить.

Имеется определенное семейство функций, которые страшно важны в математике, — показательные функции. Не исключено, что вы о них кое-что знаете. Их еще называют «экспоненциальными», и это слово проникло из математики в обычный язык. Мы все надеемся, что наши деньги, вложенные в инвестиционные фонды, будут расти экспоненциально — другими словами, быстрее и быстрее.

С принятой нами точки зрения — иллюстрирования функций двухколоночными таблицами типа таблицы 3.1— можно нестрого определить показательную функцию следующим образом. Если взять набор значений аргумента так, чтобы при переходе от строки к строке они росли как результат регулярного сложения , и если при этом окажется, что получающиеся значения функции растут как результат регулярного умножения , то перед нами — показательная функция. Слово «регулярный» здесь означает, что происходит прибавление одного и того же числа или умножение на одно и то же число.