Владимир Успенский: Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Наконец, о равенстве 3 2+ 4 2= 5 2. Если положительные числа a, b, c обладают тем свойством, что a 2+ b 2= c 2, то, по обратной теореме Пифагора, они представляют собою длины сторон некоторого прямоугольного треугольника; если они к тому же суть числа целые, их называют пифагоровыми . Вот ещё пример пифагоровой тройки: 5, 12, 13. Возникает естественный вопрос, а что будет, если в соотношении, определяющем пифагоровы числа, заменить возведение в квадрат на возведение в куб, в четвёртую, пятую и так далее степень? Можно ли привести пример таких целых положительных чисел a, b, c, чтобы выполнялось равенство a 3+ b 3= c 3, или равенство a 4+ b 4= c 4, или a 5+ b 5= c 5и т. п.? Любую тройку целых положительных чисел, для которых выполняется одно из указанных равенств, условимся называть тройкой Ферма .

Только что сформулированным вопросом заинтересовался великий французский математик середины XVII века Пьер Ферма (вообще-то он занимался математикой, а заодно и оптикой, как хобби: служебные его обязанности состояли в заведовании отделом петиций тулузского парламента). Поиски требуемых примеров ни к чему не привели, и Ферма пришёл к убеждению, что их не существует. Утверждение о несуществовании троек Ферма принято называть Великой теоремой Ферма . Строго говоря, его следовало бы называть Великой гипотезой Ферма , поскольку автор утверждения не оставил нам его доказательства. Всё, что Ферма оставил потомкам на эту тему, — это две латинские фразы, написанные им около 1637 года на полях изданной в 1621 году в Париже на двух языках, греческом и латинском, «Арифметики» древнегреческого математика Диофанта. Указанное издание обладало широкими полями, и когда у Ферма появлялись те или иные мысли по ходу чтения, он записывал их на этих полях. И вот какие две фразы он, в частности, написал — приводим эти фразы в переводе: «Невозможно для куба быть записанным в виде суммы двух кубов, или для четвёртой степени быть записанной в виде суммы двух четвёртых степеней, или вообще для любого числа, которое есть степень больше двух, быть записанным в виде суммы двух таких же степеней. Я нашёл поистине удивительное доказательство этого предложения, но оно не уместится на полях [hanc marginis exiguitas non caperet; буквально: скудость поля его не вмещает]».

Своих математических открытий Ферма никогда не публиковал, часть их (да и то без доказательств) сообщалась им в частной переписке, а часть стала известной только после его смерти в 1665 году. К числу последних принадлежит и Великая теорема: в 1670 году старший сын Пьера переиздал в Тулузе Диофантову «Арифметику», включив в издание и 48 примечаний, сделанных его отцом на полях. Лишь в 1994 г. Эндрю Уайлс при участии своего ученика Ричарда Тэйлора доказал наконец Великую теорему — и притом доказал с использованием всей мощи современной математики, так что если сам Ферма и владел доказательством (что более чем сомнительно), то заведомо не таким. А до того Великая теорема оставалась Великой гипотезой.

Задача доказать гипотезу Ферма составила содержание Проблемы Ферма . Простота формулировки проблемы, доступной школьнику младших классов, делала её привлекательной для широких кругов любителей. Привлекательность усиливалась давностью постановки и ореолом некоей таинственности, сопутствующей постановке. А тут ещё в 1908 году была объявлена премия в сто тысяч германских марок за решение Проблемы Ферма. Вскоре мировая война обесценила премию, но было уже поздно: слух о премии привлёк к Проблеме Ферма ещё больше «старателей». Возникла особая разновидность людей, называемых ферматистами . Ферматисты — это люди, не имеющие специального математического образования, фанатично убеждённые в том, что они решили Проблему Ферма, и настойчиво ищущие признания. Признания они, естественно, не получили, но, завалив своими рукописями математические кафедры ряда крупных западных университетов, заставили эти кафедры занять оборонительную позицию: университеты стали возвращать авторам любые доказательства Великой теоремы Ферма, прилагая при этом стандартное письмо с указанием, что доказательство будет рассмотрено только после получения денежного залога. А известный гёттингенский профессор Эдмунд Ландау (избранный в 1932 году иностранным почётным членом Академии наук СССР) даже изобрёл специальный бланк, который он поручал заполнять своим аспирантам: «Дорогой сэр (мадам)! Мы получили Ваше доказательство Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на странице…, строка…»