Яков Перельман - Для юных математиков. Веселые задачи

Он был уверен, что это квадраты и притом равные.

Почему он так думал?

Другой школьник должен был начертить несколько рядов черных квадратов, разделенных белыми полосками.

Вот как он выполнил эту работу.

Вы видите, однако, что близ углов квадратов, в том месте, где пересекаются бе лые полоски, имеются темноватые пятна. Школьник уверял, что он их не делал.

Откуда же они взялись?

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С КВАДРАТАМИ (№№ 31–40)

Расширить площадь пруда вдвое, сохраняя его квадратную форму и не трогая дубов, – вполне возможно. На чертеже 31-м показано, как это сделать: надо копать так, чтобы дубы оказались против середины сторон нового квадрата. Легко убедиться, что новая площадь вдвое больше прежней: достаточно лишь провести диагонали в прежнем пруде и сосчитать образующиеся при этом треугольники.

Решение задачи № 32

Такая поверка недостаточна. Четырехугольник мог выдержать это испытание, и не будучи квадратом. Вы видите на чертеже 32-м примеры таких четырехугольников, у которых все стороны равны, но углы не прямые. В геометрии фигуры с 4 равными сторонами называются ромбами. Каждый квадрат есть ромб, но не каждый ромб есть квадрат.

Решение задачи № 33

Эта поверка так же ненадежна, как и первая. В квадрате, конечно, диагонали равны, – но не всякий четырехугольник с равными диагоналями есть квадрат, – как видно из фигур, представленных на черт. 33-м.

Паркетчикам следовало бы применять к каждому вырезанному четырехугольнику обе проверки сразу, – тогда они могли быть уверены, что работа сделана правильно. Всякий ромб, у которого диагонали равны одна другой, есть непременно квадрат. Решение задачи № 34

Поверка могла показать только то, что проверяемый четырехугольник имеет прямые углы, т. е. что он прямоугольник. Но равны ли его стороны – этого проверка не удостоверяла, как видно из чертежа 34-го.

Решение задачи № 35

Проверка недостаточна. Здесь (черт. 35) начерчено несколько четырехугольников, края которых, при перегибании по диагонали, совпадают. И все-таки – это не квадраты.

Такой проверкой можно убедиться только в том, что фигура симметрична, но не более. Решение задачи № 36

Эта проверка не лучше предыдущей. Вы можете вырезать из бумаги сколько угодно четырехугольников, которые выдержат эту поверку, – хотя они вовсе не квадраты. У этих фигур все стороны равны (это ромбы), но углы не прямые – это не квадраты.

Чтобы действительно убедиться, квадратной ли формы отрезанный кусок, нужно, кроме того, проверить также, равны ли их диагонали (или углы) (рис. 36).

Решение задачи № 37

Одна линия должна итти от вершины с к середине стороны de, другая – от этой середины к вершине а. Из полученных трех кусков 1, 2 и 3 составляется квадрат, как показано на чертеже (рис. 37).

Решение задачи № 38

Сторона квадрата должна быть раз в десять меньше 100 километров. Действительно, квадрат со стороною 10 километров (километр почти равен версте) заключает 10000x10000 = 100000000 квадр. метров. Если на каждом квадратном метре поместить 20 человек, то квадрат указанных размеров вместил бы

100000000x20 = 2000000000 человек, а это больше

1800000000, т. е. населения земного шара.

Итак, чтобы поместить все человечество, достаточен квадрат со стороною менее 10 километров.

Квадраты действительно равны.

ЗАДАЧА № 41

Когда стрелки встречаются?

В 12 часов одна стрелка покрывает другую (рис. 38). Но вы замечали, вероятно, что это не единственный момент, когда стрелки часов встречаются: они настигают друг друга в течение дня несколько раз.

Рис. 38.

Можете ли вы указать все те моменты, когда это случается? ЗАДАЧА № 42 Когда стрелки направлены врозь?

В 6 часов, наоборот, обе стрелки направлены в противоположные стороны (рис. 39). Но только ли в 6часов это бывает, или же есть и другие моменты, когда стрелки так расположены?

ЗАДАЧА № 43 В котором часу?

В котором часу минутная стрелка опережает часовую ровно на столько же, на сколько часовая находится впереди числа XII на циферблате? А может быть, таких моментов бывает в день несколько? Или же вовсе не бывает?

Если вы внимательно наблюдаете за часами, то, быть может, вам случалось наблюдать как раз и обратное расположение стрелок, чем то, что сейчас описано: часовая стрелка опережает минутную на столько же, на сколько минутная продвинулась вперед от числа XII (рис. 40). Когда же это бывает?