Ричард Манкевич - История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Курт Гедель (1906–1978) в своей статье 1931 года «О формально неразрешимых суждениях Principia mathematica и связанных систем» описал специфический метод присвоения уникального числа каждому суждению, выраженному внутри формальной системы. Даже доказательство истинности суждения может быть выражено как уникальная цепочка натуральных чисел, причем на основании этих базовых символов можно решить, какие из них значащие, а какие — нет. Первый из двух классических результатов, описанных в этой статье, — это «теорема неполноты», заключающаяся в том, что аксиоматическая система, даже такая базовая, как арифметика целых чисел, содержит суждения, истинность или ложность которых не могут быть доказаны. Это до некоторой степени походит на лингвистическую дилемму «данное предложение — ложь». Существование таких неразрешимых суждений показало, что программа аксиоматизации математики, предпринятая Бертраном Расселом и Альфредом Нортом, невыполнима. Гедель также разочаровал Дэвида Гилберта, который стремился создать полную и последовательную арифметику, то есть арифметику без внутренних противоречий. Гедель также показал, что имеет место и прямо противоположное — если система последовательна, она не может доказать свою собственную последовательность изнутри самой себя. Короче говоря, мы говорим, что арифметика неполна. После того как в крышку гроба арифметики был забит огромный гвоздь, математики оставили поиски великой единой математики и вместо этого сосредоточились на исследовании того, как различные формы аксиоматизации приводят к различным математическим системам. Сам факт наличия математического языка должен позволить нам отвечать на вопросы, так что главным образом следует обсуждать процесс, которым определяется истинность математических суждений. Теперь математики в основном говорят об исчисляемости, а не о разрешимости проблемы.

Параллельно с фокусировкой внимания на алгоритмах появилось обобщение понятия функции. В самом общем смысле функция ƒ — произвольное соотношение между математическими объектами. Считается, что функция вычислима, если существует алгоритм, который создает на выходе ƒ (х) для любого значения х, для которого ƒ (х) определено, то есть для так называемой области определения ƒ (х). Лишь в конце девятнадцатого столетия, когда были построены патологические функции, до математиков дошло, что функция может и не быть вычислимой. В результате внимание переместилось на вычислительные алгоритмы. Стало совершенно ясно, вычисляет ли данный алгоритм именно ту функцию, которая необходима. Но если невозможно было подобрать ни одного алгоритма, необходимо было доказать, что такового алгоритма вообще не существует. Появилась необходимость в точном определении понятия алгоритма. В статье Геделя содержались идеи относительно рекурсивных функций, где необходимая функция получалась путем последовательности промежуточных функций. Эти концепции оказались очень плодотворными для определения вычислительных алгоритмов. В 1936 году Алонзо Чёрч в Принстоне и Алан Тьюринг в Кембридже независимо друг от друга опубликовали свои концепции исчисляемости. Затем Тьюринг показал, что эти два понятия полностью эквивалентны. Определение алгоритма Тьюринга было основано на модели вычислительной машины, названной Чёрчем «машина Тьюринга». На вопрос о том, существует ли алгоритм, который мог бы определить, верна формула или нет, был дан отрицательный ответ. Эти результаты, совместно с данными Геделя, окончательно похоронили надежду на то, что компьютер однажды сможет определить истинность и ложность всех математических суждений. Однако сосредоточенность на алгоритмах положила начало развитию программного обеспечения, которое объявило о начале новой эры в математической физике. Вычислительная математика вернулась к обсуждению старых проблем динамики, вроде стабильности Солнечной системы, а также обратила взор на биологические системы и саму сложную динамику жизни.

В естественных науках автоматы играли роль, значение которой непрерывно возрастало и которая к настоящему времени стала весьма значительной. Этот процесс развивался в течение нескольких десятилетий. В конце этого периода автоматы стали захватывать и некоторые области математики, в частности (но не только) математическую физику и прикладную математику. Их роль в математике представляет интересный аналог некоторых сторон жизнедеятельности организмов в природе. Как правило, живые организмы гораздо более сложны и тоньше устроены и, следовательно, значительно менее понятны в деталях, чем искусственные автоматы. Тем не менее рассмотрение некоторых закономерностей устройства живых организмов может быть весьма полезно при изучении и проектировании автоматов. И наоборот, многое из опыта нашей работы с искусственными автоматами может быть до некоторой степени перенесено на наше понимание естественных организмов.