Яков Перельман - Живая математика. Математические рассказы и головоломки

Недолго, однако, длилась радость богача: скоро стал он соображать, что странный гость не простак и что сделка с ним вовсе не так выгодна, как казалось сначала. Спустя 15 дней приходилось за очередные сотни тысяч платить уже не копейки, а сотни рублей, и плата страшно быстро нарастала. В самом деле, богач уплатил во второй половине месяца:

Впрочем, он считал себя далеко не в убытке: хотя и уплатил больше пяти тысяч, зато получил 1 миллион 800 тысяч.

Прибыль, однако, с каждым днем уменьшалась, притом все быстрее и быстрее.

Вот дальнейшие платежи:

Рис. 59. Незнакомец перехитрил его…

Платить приходилось уже больше, чем получать. Тут бы и остановиться, да нельзя ломать договор.

Дальше пошло еще хуже. Слишком поздно убедился миллионер, что незнакомец жестоко перехитрил его и получит куда больше денег, чем сам уплатит…

Начиная с 28-го дня богач должен был уже платить миллионы. А последние два дня его вконец разорили. Вот эти огромные платежи:

Когда гость ушел в последний раз, миллионер подсчитал, во что обошлись ему столь дешевые на первый взгляд три миллиона рублей. Оказалось, что уплачено было незнакомцу

10 737 418 руб. 23 коп.

Без малого 11 миллионов!… А ведь началось с одной копейки. Незнакомец мог бы приносить даже по три сотни тысяч и все-таки не прогадал бы.

Прежде чем кончить с этой историей, покажу, каким способом можно ускорить подсчет убытков нашего миллионера; другими словами, как скорее всего выполнить сложение ряда чисел:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 и т. д.

Нетрудно подметить следующую особенность этих чисел:

1 = 1

2 = 1 + 1

4 = (1 + 2) + 1

8 = (1 + 2 + 4) + 1

16 = (1 + 2 + 4 + 8) + 1

32 = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + 1

и т. д.

Мы видим, что каждое число этого ряда равно всем предыдущим, вместе взятым, плюс одна единица. Поэтому, когда нужно сложить все числа такого ряда, например от 1 до 32 768, то мы прибавляем лишь к последнему числу (32 768) сумму всех предыдущих, иначе сказать, прибавляем то же последнее число без единицы (32 768-1). Получаем 65 535.

Этим способом можно подсчитать убытки нашего миллионера очень быстро, как только узнаем, сколько уплатил он в последний раз.

Его последний платеж был 5 368 709 руб. 12 коп. Поэтому, сложив 5 368 709 руб. 12 коп. и 5 368 709 руб. 11 коп., получаем сразу искомый результат: 10737418 руб. 23 коп.

Удивительно, как быстро разбегаются по городу слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого-нибудь происшествия, которое видело всего несколько человек, а новость облетела уже весь город: все о ней знают, все слыхали.

Необычайная быстрота эта кажется поразительной, прямо загадочной.

Однако если подойти к делу с подсчетом, то станет ясно, что ничего чудесного здесь нет: все объясняется свойствами чисел, а не таинственными особенностями самих слухов.

Для примера рассмотрим хотя бы такой случай.

В провинциальный город с 50-тысячным населением приехал в 8 ч утра житель столицы и привез свежую, всем интересную новость. В гостинице, где приезжий остановился, он сообщил новость только трем местным жителям; это заняло, скажем, четверть часа.

Итак, в 8 1/ 4ч утра новость была известна в городе всего только четверым: приезжему и трем местным жителям. Узнав интересную новость, каждый из трех граждан поспешил рассказать ее 3 другим. Это потребовало, допустим, также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней знало уже 4 + (3 х 3) = 13 человек.

Рис. 60. Житель столицы привез интересную новость…

Каждый из 9 вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с 3 другими гражданами, так что в 8 3/ 4утра новость стала известна

13 + (3 х 9) = 40 гражданам.

Если слух распространяется по городу и далее таким же способом, т. е. каждый, узнавший новость, успевает в ближайшие четверть часа сообщить ее 3 согражданам, то осведомление города будет происходить по следующему расписанию: