Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Как могут существовать простые числа-близнецы при большом N , если рассматривать их в свете теории простых чисел? Согласно теореме, ln N — это всего лишь средний промежуток. Однако он может колебаться, а поскольку существует бесконечное множество простых чисел, некоторым из них удается преодолеть ограничение и создать счастливую пару. Другими словами, даже если большинство простых чисел не обнаружат другие простые числа среди своих соседей намного ближе, чем на расстоянии ln N , все же некоторым это удастся.

Для тех, кто желает узнать, как математика управляет «очень маленькими промежутками между простыми числами», эта тема красиво и четко изложена в статье Эндрю Гранвиля, посвященной аналитической теории чисел, см. T. Gowers, The Princeton Companion to Mathematics (Princeton University Press, 2008), рр. 332–348.

В интернете также есть прекрасная статья Терри Тао, которая позволяет проникнуть в мир простых чисел-близнецов. В частности, в ней рассказывается, как они распределяются, а также дается ответ на вопрос, почему математики считают, что их существует бесконечное множество. Затем приводится подробное доказательство его знаменитой теоремы (совместно с Беном Грином) о том, что простые числа могут образовывать арифметические прогрессии произвольной длины. См. T. Tao, Structure and randomness in the prime numbers, http://terrytao.wordpress.com/2008/01/07/ams-lecture-structure-and-randomness-in-the-prime-numbers/.

Подробнее о простых числах-близнецах см. http://en.wikipedia.org/wiki/Twin_prime, http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimeConjecture.html.

Здесь я привожу свои соображения и не пытаюсь дать окончательный ответ на вопрос о расстоянии между двумя последовательными парами простых чисел-близнецов. Возможно, где-нибудь очень далеко на числовой прямой существуют две пары простых чисел-близнецов, которые находятся очень близко друг к другу. Введение в эти вопросы см. I. Peterson, Prime twins (June 4, 2001), http://www.maa.org/mathland/mathtrek_6_4_01.html.

В любом случае метафора о загадочных парах простых чисел-близнецов не осталась незамеченной в Голливуде. Вы можете посмотреть фильм под названием The Mirror Has Two Faces («У зеркала два лица»), в котором снимаются Барбра Стрейзанд и Джефф Бриджес. Он красивый, но не приспособленный к жизни в обществе профессор математики. Она профессор на кафедре английской литературы, смелая, энергичная, но привязанная к дому женщина (или, по крайней мере, таковой кажется), живущая вместе с матерью и неуравновешенной сестрой. В конце концов этим двум профессорам удается встретиться. Но когда их разговор за ужином заходит о танцах (что ему совсем не нравится), мужчина внезапно меняет тему и рассказывает о простых числах-близнецах. Она мгновенно понимает его мысль и спрашивает: «Что случится, если досчитать до миллиона? Там еще останутся такие пары?» Он почти падает со стула, восклицая: «Не могу поверить, что вы думали об этом! Именно это предстоит доказать в гипотезе о простых числах». Далее по фильму их отношения развиваются, и на день рождения она дарит ему пару запонок, на которых изображены простые числа.

Группа матраса известна в математике как четверная группа Клейна. Это одно из самых простых и гигантских скоплений возможностей. На протяжении почти 200 лет математики занимаются анализом групп и классификацией их структур. Захватывающее исследование теории групп и последние попытки классификации всех конечных простых групп см. M. du Sautoy, Symmetry (Harper, 2008).

Прим. ред.: В качестве введения в теорию групп рекомендуем: Ляховский В. Д., Болохов А. А. Группы симметрии и элементарные частицы. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983; Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972; Богопольский О.В. Введение в теорию групп. М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002; Артамонов В. А., Словохотов Ю. Л. Группы и их приложения в физике, химии, кристаллографии. М.: Изд. центр «Академия», 2005.

Эта глава навеяна двумя недавно вышедшими книгами. N. Carter, Visual Group Theory (Mathematical Association of America, 2009) и B. Hayes, Group Theory in the Bedroom (Hill and Wang, 2008). Картер интересно и живописно рассказывает об основах теории групп. Он повествует о том, как она связана с кубиком Рубика, танцами, кристаллами, химией, искусством и архитектурой.

Читателям, которых заинтересует определение «группы», следует обратиться к авторитетным онлайн-справочникам или обычным учебникам. Для начала можно посоветовать страницу MathWorld http://mathworld.wolfram.com/topics/GroupTheory.html или страницу «Википедии» http://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics). В этой главе я больше внимания уделил группам симметрии, чем другим группам.