Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Вообще-то от латинского «пальцы» слово «цифра» происходит в английском языке, где слово digit обозначает как цифру, так и палец. В русском языке слово «цифра» происходит от арабского ṣifr — пустой, ничего, нуль. Прим. ред.

Для зануд: Лия действительно на 21 месяц старше Джо.

Ричард Фейнман (1918–1988) — выдающийся американский ученый, основные открытия сделал в области теоретической физики. Один из создателей квантовой электродинамики. В 1943–1945 гг. входил в число разработчиков атомной бомбы в Лос-Аламосе. Прим. перев.

Фейнман рассказывает об остроумном методе Бете возведения в квадрат чисел до 50 в книге R. P. Feynman, Surely, You’re Joking, Mr. Feynman! стр. 193 (W. Norton and Company, 1985).

Прим. ред.: Фейнман Р. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман! М.: Колибри, 2008.

Ганс Бете (1906–2005) — американский астрофизик, лауреат Нобелевской премии по физике. В 1943–1945 гг. входил в число разработчиков атомной бомбы в Лос-Аламосе. Прим. перев.

Получение одинаковых результатов при повышении и понижении стоимости акций на одинаковый процент при колебании цен на фондовом рынке можно доказать математически с помощью умножения 1 + x на 1 — x или геометрически, нарисовав схему, аналогичную используемой Бете для объяснения своего метода. Если у вас есть настроение, в качестве упражнения попробуйте оба подхода.

«Ваш возраст, деленный на два, и плюс семь», — эта формула называется стандартом приемлемой разницы в возрасте партнеров, находящихся в романтических отношениях. Ее можно найти по ссылке http://xkcd.com/314/.

О поиске решений более сложных уравнений, от квадратных до уравнений пятого порядка, ярко и подробно рассказывается в книге M. Livio, The Equation That Couldn’t Be Solved (Simon and Schuster, 2005).

Прим. ред.: Книга для школьников по решению алгебраических уравнений: Самарова С.С. Решение алгебраических уравнений. М.: Резольвента, 2010.

Делос — остров в Эгейском море. Прим. ред.

Дополнительные сведения о классической проблеме удвоения куба можно найти по адресу http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Doubling_the_cube.html.

Чтобы больше узнать о мнимых и комплексных числах и их применении, а также об их переменчивой истории см. J. Nahin, An Imaginary Tale (Princeton University Press, 1998) и B. Mazur, Imagining Numbers (Farrar, Straus and Giroux, 2003).

Прим. ред.: Среди обширной литературы по комплексным числам укажем только одну из последних книг: Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. М.: МЦНМО, 2002.

Прекрасную журналистскую работу о Джоне Хаббарде можно найти в книге J. Gleick, Chaos, р. 217 (Viking, 1987). Собственный взгляд Хаббарда на метод Ньютона отображен в разделе 2.8 книги J. Hubbard and B. B. Hubbard, Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms, 4 thedition (Matrix Editions, 2009).

Для читателей, которые хотят углубиться в математический аппарат метода Ньютона, более сложное, но все же довольно понятное объяснение дано в книге H.-O. Peitgen and P. H. Richter, The Beauty of Fractals (Springer, 1986), chapter 6; также см. статью Эдриана Двади (сотрудник Хаббарда), озаглавленную Julia sets and the Mandelbrot set, в этой же книге.

Хаббард не был первым математиком, поставившим вопрос о применении метода Ньютона, в комплексной плоскости. Артур Кэли, британский математик, задал его еще в 1879 году. Он также рассмотрел квадратичный и кубический полиномы и понял, что первый случай гораздо проще, чем второй. Хотя тогда он еще не мог знать о фракталах, которые были обнаружены век спустя, он прекрасно понимал, что есть риск возникновения определенных проблем, если корней окажется больше двух. В его небольшой (на одну страницу) статье Desiderata and suggestions: No.3—the Newton-Fourier imaginary problem, American Journal of Mathematics, 2(1), March 1879, p. 97, с которой можно ознакомиться на сайте http://www.jstor.org/pss/2369201, заключение звучит как сдержанное предупреждение: «Для квадратного уравнения решение легко и элегантно, но представляется, что решение кубического уравнения окажется значительно сложнее».

Снимки, представленные в этой главе, были рассчитаны методом Ньютона, примененного для нахождения корней многочлена z 3— 1. Его корни — три кубических корня из 1. Для этого случая в соответствии с алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости выбирается точка z , она и переносит значение корня в новую точку, рассчитанную по формуле

z — ( z 3— 1)/(3 z 2).

Именно это значение и становится следующим значением z . Данный процесс повторяется, пока z не подходит достаточно близко к корню или, что эквивалентно, пока z 3— 1, не подойдет достаточно близко к нулю, где под «достаточно близко» понимается очень маленькое расстояние, выбранное программистом. Затем все исходные точки, которые приводят к определенному корню, окрашиваются в одинаковый цвет. Таким образом, точки красного цвета сходятся к одному корню, точки зеленого — к другому, а синего — к третьему. Снимки окончательного фрактала Ньютона были любезно предоставлены Саймоном Татемом. Дополнительные сведения о его работе вы найдете на странице Fractals derived from Newton-Raphson iteration на сайте: http://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/newton/.