Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Изначально алгоритм задает равные доли, что позволяет каждой странице получить одинаковое количество PageRank. В нашем примере три страницы, и каждая из них начинает движение по алгоритму со счетом 1/3.

Начальные значения PageRank

Затем счет обновляется, отображая реальное значение каждой страницы. Правило состоит в том, что каждая страница берет свой PageRank с последнего круга и равномерно распределяет его по всем страницам, на которые ссылается. Следовательно, обновленное значение страницы X после прохождения первого круга по-прежнему равно 1/3, поскольку именно столько PageRank она получает от Z, единственной страницы, которая на нее ссылается. При этом счет страницы Y уменьшается до 1/6, так как она получает только половину PageRank от X после предыдущего круга. Вторая половина переходит к странице Z, что делает ее победителем на данном этапе, поскольку она добавляет себе еще 1/6 от страницы X, а также 1/3 от Y, и всего получается 1/2. Таким образом, после первого круга мы имеем следующие значения PageRank:

Значения PageRank после одного обновления

В последующих кругах правило обновления остается прежним. Если обозначить через x, y, z текущий счет страниц X, Y и Z, то в результате обновления получим такой счет:

х' = z

y' = ½ x

z' = ½ x + y ,

где штрихи говорят о том, что произошло обновление. Подобные многократно повторяющиеся вычисления удобно выполнять в электронной таблице (или вручную, если сеть маленькая, как в нашем случае).

После десяти повторений обнаружим, что от обновления к обновлению цифры практически не меняются. К этому моменту доля X составит 40,6 % от всего PageRank, доля Y — 19,8 %, а Z — 39,6 %. Эти значения подозрительно близки к числам 40, 20 и 40 %, что говорит о том, что алгоритм должен к ним сходиться.

Так и есть. Эти предельные значения алгоритм Google и определяет для сети как PageRank.

Предельные значения PageRank

Вывод для данной маленькой сети такой: страницы X и Z одинаково важны, несмотря на то что у Z в два раза больше входящих ссылок. Это и понятно: страница X равна Z по значимости, поскольку она получает от нее полное одобрение, однако взамен дает ей лишь половину своего одобрения. Вторая половина отправляется Y. Это также объясняет, почему Y достается только половина от долей X и Z.

Интересно, что эти значения можно получить, не прибегая к многократным итерациям. Надо просто подумать над условиями, определяющими стационарное состояние. Если после очередного обновления ничего не меняется, то x' = x, y' = y и z' = z . Поэтому, заменив переменные со штрихом в уравнениях обновлений на их эквиваленты без штрихов, получим систему уравнений

х = z

y = ½ x

z = ½ x + y ,

при решении которой x = 2 y = z . Поскольку сумма значений x, y и z должна равняться 1, отсюда следует, что x = 2/5, y = 1/5 и z = 2/5, что соответствует ранее найденным значениям.

Давайте на мгновение вернемся назад и посмотрим, как все это вписывается в широкий контекст линейной алгебры. Приведенное выше уравнение стационарного состояния, так же как и уравнения обновления, содержащие штрихи, — типичные примеры линейных уравнений. Они называются линейными, поскольку описывают прямые линии: переменные x, y, z в этих уравнениях в первой степени, так же как и в знакомом нам из курса алгебры средней школы уравнении прямой y = mx + b .

Линейные уравнения, в противоположность уравнениям, содержащим нелинейные члены, например x 2или yz , либо sin x , решаются относительно просто. Сложности начинаются там, где в уравнениях присутствует огромное количество переменных, как это происходит в реальной сети. Поэтому одной из центральных задач линейной алгебры является разработка более быстрых алгоритмов для решения больших систем уравнений. Даже незначительные усовершенствования этих алгоритмов ощущаются практически во всех сферах жизни — от расписания авиарейсов до сжатия изображения.

Однако самой существенной победой линейной алгебры, с точки зрения ее роли в повседневной жизни, безусловно, стало решение парадокса дзен-буддизма для ранжирования страниц. «Страница хороша в той мере, в какой хорошие страницы ссылаются на нее». Переведенный в математические символы, этот критерий становится алгоритмом PageRank.