Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

В начальной школе вычитание учат сразу после сложения. И в этом, безусловно, есть смысл: в обоих случаях применяется счет чисел, только при вычитании он выполняется в обратную сторону. Психологически действия тоже похожи: ребенок учится брать и давать примерно в одно и то же время. Сложение и вычитание всегда идут рука об руку. Если человек готов посчитать, сколько будет 23 + 9, то не сомневайтесь, он скоро ответит и на вопрос, сколько будет 23 — 9.

Но если углубиться в эту тему, то в отличие от сложения вычитание создает довольно неприятную проблему, поскольку в результате могут появиться отрицательные числа. Если я захочу взять у вас 6 булочек, а у вас их только 2, то в реальности у меня ничего не получится. Зато в уме я навешу на вас 4 отрицательные булочки, что бы это ни значило.

Вычитание заставляет нас расширить свое представление о числах. Отрицательные числа более абстрактны, чем положительные. Четыре отрицательные булочки не потрогаешь и не съешь, зато их можно представить. Самое интересное, что в реальном мире отрицательные числа тоже встречаются: долги, перерасход по кредитной карте, минусовые температуры зимой и обозначения подвальных уровней на крытых парковках.

Многие из нас пока еще не заключили мир с отрицательными числами. Как заметил мой коллега Энди, люди придумали всевозможные забавные мелкие уловки, чтобы обойти страшный отрицательный знак «минус». В отчетах паевых инвестиционных фондов потери (отрицательные числа) печатаются красным или заключаются в круглые скобки, чтобы минусы ни в коем случае не появились. В исторических книгах сказано, что Юлий Цезарь родился в 100 году до н. э., а не в –100 году. Подземные уровни парковки часто обозначаются как B1 и B2. Температура — одно из немногих исключений, когда люди действительно говорят, что она составляет –5 градусов, хотя и в этом случае многие предпочитают фразу «5 градусов ниже нуля». Видимо, в отрицательном знаке есть нечто отталкивающее и… негативное.

Возможно, самое неприятное заключается в том, что при перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Поэтому позвольте привести доводы в защиту знака минус.

Как нам определить ценность такого выражения, как –1 × 3, где мы умножаем отрицательное число на положительное? Ну хорошо, так как 1 × 3 означает сумму 1 + 1 + 1, естественно представить –1 × 3 как (–1) + (–1) + (–1), что равняется –3. Это должно стать очевидным в примере с деньгами: если вы должны мне 1 доллар в неделю, то по истечении трех недель вы мне будете должны 3 доллара.

Отсюда уже недалеко до понимания, почему минус, умноженный на минус, дает плюс. А теперь взгляните на следующий ряд равенств:

— 1 × 3 = –3

— 1 × 2 = –2

— 1 × 1 = –1

— 1 × 0 = 0

— 1 × –1 =?

Посмотрите на числа в правой части равенств и удостоверьтесь в том, что это обычная прогрессия: –3, –2, –1, 0… На каждом шаге мы добавляем 1 к предыдущему числу. Таким образом, разве не логично, что следующим числом будет 1?

Это один аргумент в пользу того, почему (–1) × (–1) = 1. Привлекательность такого толкования заключается в том, что оно позволяет сохранить правила обычной арифметики — получается, что они верны как для положительных, так и для отрицательных чисел.

Но если вы бесчувственный прагматик, то, вероятно, будете удивлены, что у этих абстракций есть некие параллели в реальном мире. По общему признанию, жизнь иногда играет по различным правилам. В обычных этических построениях два заблуждения не приводят к истине. Более того, двойные отрицания не всегда равнозначны утверждению; они могут усилить отрицание, как в случае с «Я не могу получить никакого удовлетворения». (Действительно, в этом отношении язык может быть очень мудреным. Выдающийся британский философ и лингвист Дж. Остин из Оксфорда как-то в своей лекции заявил, что во многих языках двойное отрицание дает утверждение, но ни в одном дважды повторенное утверждение не дает отрицания. На что сидевший в аудитории философ из Колумбии Сидни Мордженбессер ехидно процедил: «Да-да».)

Тем не менее есть немало случаев, когда реальный мир действительно отражает правила умножения отрицательных чисел. Например, возбуждение одной нервной клетки может быть подавлено возбуждением второй нервной клетки. Если в этот момент возбуждение второй нервной клетки подавляется третьей нервной клеткой, то первая клетка может снова возбудиться. Косвенное воздействие третьей клетки на первую вызывает ее возбуждение. Таким образом, последовательность двух отрицаний приводит к утверждению. Подобные эффекты происходят и при регуляции генов: белок может включить ген, блокируя другую молекулу, которая подавляла этот отрезок молекулы ДНК.