Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Рассуждения Джо — пример алгебраического подхода (хотя никто, кроме гордого отца, возможно, этого и не видит). Она подметила соотношение между двумя постоянно меняющимися переменными: своим возрастом, x , и возрастом Лии — y . Лия всегда будет на два года старше сестры: y = x + 2.

На языке алгебры такие задачи формулировать естественнее всего. Но потребуется небольшая практика, чтобы хорошо разобраться в этой науке, потому что существуют, как говорят французы, faux amis , то есть ложные друзья: пары слов, звучащие похоже и вроде бы означающие одно и то же, но на самом деле имеющие совершенно различные значения.

Предположим, что длина коридора равна y , если ее измерять в ярдах, и f, если мы ее измерим в футах. Составьте уравнение, описывающее отношение между y и f.

Мой друг Грант Виггинс, эксперт по вопросам образования, уже много лет предлагает такое задание студентам и университетским преподавателям. Основываясь на своем опыте, он утверждает, что студенты более чем в половине случаев выполняют его неправильно, даже если совсем недавно прошли и успешно сдали курс алгебры.

Если вы тоже думаете, что ответ — y = 3 f , добро пожаловать в клуб неудачников.

Эта формула похожа на «дословный перевод» утверждения «Один ярд равняется трем футам» на язык алгебры. Но как только вы попробуете подставить в уравнение несколько чисел, то сразу увидите, что в нем все перевернуто с ног на голову. Скажем, коридор имеет длину 10 ярдов, то есть 30 футов. Тогда при y = 10 ярдам, понятно, что f = 30 футам, и тождество становится неверным.

Верное уравнение: f = 3 y . И здесь 3 действительно означает, что в одном ярде 3 фута (то есть имеет размерность фут/ярд). Когда вы умножите 3 на переменную y в ярдах, то ярды в уравнении сократятся, и у вас останутся, как и должно быть, футы.

Проверка правильности формулы с помощью сокращения единиц измерения помогает избежать грубой ошибки такого типа. Например, она могла бы спасти сотрудников отдела обслуживания клиентов компании Verizon (см. пример в главе 5) от путаницы между долларами и центами.

Еще один вид формул называется тождеством. Когда на уроках алгебры вы раскладывали на множители или перемножали многочлены, вы работали с тождествами. Можете использовать их и теперь, чтобы произвести впечатление на друзей дешевыми трюками с числами. Вот один, который поразил физика Ричарда Фейнмана [31] Ричард Фейнман (1918–1988) — выдающийся американский ученый, основные открытия сделал в области теоретической физики. Один из создателей квантовой электродинамики. В 1943–1945 гг. входил в число разработчиков атомной бомбы в Лос-Аламосе. Прим. перев. , хотя он сам неплохо считал устно.

Работая в Лос-Аламосе [32] Фейнман рассказывает об остроумном методе Бете возведения в квадрат чисел до 50 в книге R. P. Feynman, Surely, You’re Joking, Mr. Feynman! стр. 193 (W. Norton and Company, 1985). Прим. ред.: Фейнман Р. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман! М.: Колибри, 2008. , я убедился, что Ганс Бете [33] Ганс Бете (1906–2005) — американский астрофизик, лауреат Нобелевской премии по физике. В 1943–1945 гг. входил в число разработчиков атомной бомбы в Лос-Аламосе. Прим. перев. превосходно считает. Как-то раз мы подставляли числа в формулу и добрались до квадрата 48, я уже было потянулся за калькулятором, и тут Ганс сказал:

— Это будет равняться 2300.

Я стал нажимать кнопки, а он продолжил:

— Если вам нужен точный ответ, то 2304.

Калькулятор тоже выдал 2304.

— Ну и дела! Это впечатляет! — воскликнул я.

— Разве вы не знаете, как возвести в квадрат числа, не превышающие 50? — удивился он. — Возводите в квадрат 50 — равно 2500 — и вычитаете 100 раз разность между 50 и вашим числом (в данном случае это 2), так у вас выйдет 2300. Если хотите иметь точное значение, то к этому числу прибавьте квадрат разности. Выйдет 2304.

Трюк Бете основан на тождестве (50 + х ) 2= 2500 + 100 x + х 2. Он запомнил его и применил при х = –2, так как 48 = 50 — 2. Для интуитивного доказательства этой формулы представьте себе квадратный кусочек ковра со стороной 50 + х .

Его площадь, равная (50 + х ) в квадрате, и есть наше искомое. Однако на диаграмме видно, что эта область состоит из квадрата 50 × 50 (в формуле это равно 2500), двух прямоугольников размером 50, умноженное на x , (площадь каждого по 50 x ; всего 100 х ), и, наконец, x , умноженное на x , что равно площади х в квадрате.