Леонард Млодинов - Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства

Точность — еще одно свойство, необходимое математическому доказательству. Наблюдатель может измерить диагональ квадрата с единичной стороной и получить результат 1,4, а с более точными приборами — 1,41 или даже 1,414, и как бы нам ни хотелось принять подобное приближение как достаточное, оно не даст нам получить эпохальное прозрение: это значение длины — величина иррациональная.

Крошечные количественные изменения могут иметь громадные качественные последствия. Вспомним государственные лотереи. Не теряющие надежду неудачники частенько пожимают плечами и говорят: «Не сыграешь — не выиграешь». Это правда, не поспоришь. Но правда и то, что шансы на выигрыш у тех, кто покупает лотерейный билет, и у тех, кто нет, отличаются на малюсенькую долю процента. Что произойдет, если лотерейная комиссия за явит, что решила округлить ваши шансы на выигрыш с 0,000001 % до нуля? Изменение почти неприметное, но поток наличности от продаж оно изменит еще как.

Фокус Пола Карри

Трюк, изобретенный фокусником-любителем Полом Карри [53](см. предыдущую страницу), жившим в Нью-Йорке, — отличный геометрический пример. Возьмем квадратный лист бумаги и нарисуем на нем сетку из меньших квадратов семь на семь. Разрежем лист на пять частей и переложим их так, как показано на рисунке. В результате получим «квадратный пончик» — квадрат того же размера, что и исходный, однако по центру не будет хватать одного квадратика. Куда подевался этот квадратик? Мы что же, доказали теорему о том, что цельный квадрат равен по площади пончику?

Фокус состоит в том, что при пересборке квадрата фрагменты ложатся чуточку внахлест, и фигура в результате получается слегка жульнической — или, скажем так, приблизительной. Второй сверху ряд клеток получается чуть-чуть выше, а весь квадрат — на 1/49 длиннее по вертикали, чем должен быть, и этого как раз достаточно, чтобы набралась площадь недостающего квадратика. Но если бы нам доступно было измерение длин с точностью лишь до 2 %, мы бы не уловили разницу между этими двумя фигурами и впали бы в искушение сделать мистический вывод, что площади квадрата и «квадратного пончика» равны друг другу.

Учтены ли как-то подобные малые расхождения в теориях пространства? Одной из путеводных идей в создании общей теории относительности, гениальной теории об искривлении пространства, послужило Альберту Эйнштейну именно отклонение перигелия Меркурия от классической ньютоновской теории [54]. Согласно теории Ньютона, планеты движутся по идеальным эллиптическим орбитам. Точка, в которой планета ближе всего к Солнцу, называется перигелием, и, если теория Ньютона верна, планета должна ежегодно проходить строго через эту точку. В 1859 году в Париже Урбен Жан Жозеф Леверье сообщил, что перигелий Меркурия постоянно смещается — самую малость, всего 38 секунд в столетие, что, конечно же, никаких практических последствий не имеет. И тем не менее такое отклонение почему-то происходит. Леверье назвал это «чудовищным затруднением, достойным внимания астрономов». К 1915 году Эйнштейн достаточно развил свою теорию — и вычислил орбиту Меркурия; в эти расчеты обнаруженное отклонение вполне вписалось. По словам биографа Эйнштейна Абрахама Пайса, это открытие стало «высшей точкой его научной жизни. Он был так взбудоражен, что три дня не мог работать». Каким бы малым ни было это отклонение, его объяснение привело к падению классической физики.

Целью Евклида было построить систему так, чтобы в ней не оставалось места для нечаянных допущений, основанных на интуиции, угадывании или приблизительности. Он ввел двадцать три определения [55], пять геометрических постулатов и пять дополнительных постулатов, которые он назвал «Общими утверждениями». На этом фундаменте он доказал 465 теорем — практически все геометрическое знание его времени.

Евклид дал определения точке, линии (которая, согласно определению, может быть искривленной), прямой линии, окружности, прямому углу, поверхности и плоскости. Некоторые понятия он определил довольно точно. «Параллельные прямые, — писал он, — это прямые линии, которые, находясь на одной плоскости, продолженные до бесконечности в обоих направлениях, ни в одном из этих направлений не пересекаются».

Окружность, по словам Евклида, есть «плоская фигура, обозначенная одной линией (кривой) так, что все прямые линии, пересекающие ее и еще одну из точек внутри ее, называемую центром, равны друг другу». О прямом угле сказано так: «Когда прямая линия пересекает другую прямую линию, а образующиеся соседние углы равны друг другу, любой из этих углов — прямой».