Эрнст Нагель - Teopeма Гёделя

В область чистой абстракции, очищенную от каких было ни было привычных ассоциаций, войти, конечно, не так-то легко. Но наградой нам служит свобода и непредвзятость мышления. Последовательная формализация математики освобождает наш разум от ограничений, которые привычная интерпретация математических выражений накладывает на вновь вводимые системы постулатов. Так возникли совершенно новые типы «алгебр» и «геометрий», весьма значительно отклоняющиеся от математических традиций. Поскольку значения некоторых терминов стали гораздо более общими, обозначаемые этими терминами понятия стали употребляться в более широком смысле, а выводы, делаемые с помощью этих понятий, оказались подверженными меньшим ограничениям. Плодом формализации явились разнообразные системы, представляющие большой математический интерес и ценность.

Следует отметить, что некоторые из этих систем не допускают столь очевидных интуитивных (т. е. согласующихся с обыденным словоупотреблением) интерпретаций, как, например, евклидова геометрия или арифметика, но это обстоятельство отнюдь не должно внушать тревогу. Ведь интуиция — штука довольно- таки растяжимая. Нашим детям, возможно, нетрудно будет принять в качестве интуитивно очевидных истин некоторые парадоксальные утверждения теории относительности, не смущают же нас некоторые идеи, отнюдь не казавшиеся интуитивно очевидными нашим предкам. Интуиция — не слишком-то надежный руководитель; во всяком случае ее нельзя считать удовлетворительным критерием для оценки истинности и плодотворности научных открытий.

Однако усугубившаяся абстрактность математики породила и более серьезную проблему: для каждой данной системы постулатов встает вопрос, является ли она внутренне непротиворечивой, т. е. не может ли оказаться, что из этой системы выводятся теоремы, противоречащие друг другу. Проблема не представляется очень уж актуальной, если речь идет об аксиомах, описывающих некоторую определенную и хорошо известную область объектов; если данные аксиомы действительно верны для данной области объектов, вполне естественно считать систему непротиворечивой. Коль скоро, например, предполагалось, что аксиомы Евклида являются истинными утверждениями о пространстве (или о пространственных объектах), то никакой математик до середины XIX столетия не стал бы просто и рассматривать всерьез вопрос о том, нельзя ли из этих аксиом получить пару противоречащих друг другу теорем. Такая уверенность в непротиворечивости евклидовой геометрии основывалась на том совершенно разумном принципе, согласно которому логически несовместимые утверждения не могут быть одновременно истинными; таким образом, никакое множество истинных утверждений (а именно это предполагалось относительно аксиом Евклида) не должно быть внутренне непротиворечивым.

Известны различные виды неевклидовых геометрий. Вначале системы аксиом для таких геометрий рассматривались как безусловно ложные по отношению к окружающему нас пространству, да и вопрос об их истинности относительно какой бы то ни было другой области казался весьма сомнительным. В связи с этим и проблема доказательства внутренней непротиворечивости неевклидовых систем казалась весьма трудной, если вообще осуществимой. Скажем, в геометрии Римана евклидов постулат параллельности заменяется соглашением, согласно которому через произвольную точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной.

В таком случае возникает вопрос: а совместима ли система римановских постулатов? Кажется совершенно ясным, что пространству, данному нам в нашем повседневном опыте, система эта не соответствует. Каким же образом можно было бы тогда все-таки рассчитывать установить непротиворечивость этой системы? Как доказать, что в такой системе не могут быть доказаны две противоречащие друг другу теоремы?

Для решения проблемы был предложен один общий метод. Основная идея его состоит в том, чтобы найти «модель» (или «интерпретацию») для абстрактных постулатов рассматриваемой системы, т. е. чтобы каждый постулат оказался истинным утверждением об объектах такой модели, что и свидетельствовало бы о непротиворечивости (совместимости) системы абстрактных постулатов. Рассмотрим, например, следующую систему постулатов, в формулировки которых входят два класса K и L, подлинная «природа» которых остается неопределенной, если не считать того, что сами постулаты «неявно» определяют эти классы.