Эрнст Нагель - Teopeма Гёделя

В качестве такого свойства годится, например, свойство «быть тавтологией». Вы знаете, что так обычно именуют утверждения, дважды повторяющие внешне различным образом одну и ту же мысль и не несущие поэтому фактически никакой информации. Например, «раз Джон есть отец Чарлза, то Чарлз — сын Джона». В обобщение этого свойства «неинформативности» в логике тавтологиями принято называть утверждения, которые не могут не быть истинными. Примером может служить высказывание: «дождь идет или дождь не идет». Говорят также, что тавтологии — «истины во всех возможных мирах», или, еще по-другому, что это необходимо (или логически ) истинные высказывания.

Но для того чтобы наше доказательство непротиворечивости было не относительным, а абсолютным, нам придется дать такое определение понятия тавтологии, которое не зависело бы непосредственно от понятия истины (в свою очередь, подразумевающего некоторую интерпретацию ), а было бы дано в чисто формальных, структурных терминах.

Напомним, что формула нашего исчисления — либо просто одна из букв, используемых в нем в качестве пропозициональных переменных (назовем такие формулы «элементарными»), либо же составлена из таких букв с помощью пропозициональных связок и скобок. Условимся отнести каждую элементарную формулу в один из двух непересекающихся классов, в сумме дающих все множество формул исчисления — K 1или K 2. Формулы, не являющиеся элементарными, относятся к тому или иному из этих классов в силу следующих соглашений:

1) формула, имеющая вид S 1˅ S 2, принадлежит классу K 2, если как S 1, так и S 2принадлежат K 2; в противном случае она принадлежит K 1;

2) формула, имеющая вид S 1ﬤ S 2, принадлежит классу K 2, если S 1принадлежит K 1, a S 2принадлежит K 2; в противном случае она принадлежит K 1;

3) формула, имеющая вид S 1· S 2, принадлежит классу K 1, если как S 1, так и S 2принадлежат K 1; в противном случае она принадлежит K 2;

4) формула, имеющая вид ~ S , принадлежит классу K 2, если S принадлежит K 1; в противном случае она принадлежит K 1.

Теперь мы определяем свойство «быть тавтологией»: формула есть тавтология тогда и только тогда, когда она принадлежит классу K 1независимо от того, какому из классов K 1и K 2принадлежит любая из входящих в нее элементарных формул (т. е. переменных). Ясно, что это определение не использует никакой модели или интерпретации нашей системы. Мы можем установить, является ли какая-либо данная формула тавтологией, просто исследуя ее строение с точки зрения выполнения приведенных выше четырех условий.

Такая проверка приводит к выводу, что каждая из четырех аксиом является тавтологией. Процедура такой проверки сводится к составлению таблицы, в которой учитываются все возможные варианты соотнесения элементарных компонент данной аксиомы к любому из двух классов, K 1и K 2. Просматривая последовательно строки такой таблицы, мы можем определить для каждого из возможных распределений «значений» (т. е. принадлежности классам K 1и K 2) элементарных формул (т. е. попросту переменных), какому из классов принадлежит каждая неэлементарная «подформула» данной формулы и вся рассматриваемая формула в целом. Возьмем, например, первую аксиому. Таблица для нее состоит из трех столбцов: первый из них соответствует единственной ее элементарной компоненте « p », второй — неэлементарной подформуле «( p ˅ p )», а третий — всей формуле «( p ˅ p ) ﬤ p ». В каждом из столбцов указаны классы, которым принадлежат соответствующие формулы при данных распределениях значений переменных по этим классам. Вот как выглядит таблица для первой аксиомы:

p p ˅ p (p ˅ p )ﬤ p

K 1 K 1 K 1

K 2 K 2 K 1

В первом столбце таблицы приведены возможные значения единственной элементарной компоненты рассматриваемой аксиомы, во втором — соответствующие значения неэлементарной компоненты аксиомы (согласно условию (1), в третьем — значения самой аксиомы (согласно условию (2)). Из последнего столбца сразу видно, что первая аксиома принадлежит классу K 1всегда, независимо от того, к какому классу отнесена ее элементарная компонента. Значит, первая аксиома является тавтологией.

А вот такая же таблица для второй аксиомы:

p q p ˅ q р ﬤ( р ˅ q )