Жуан Гомес - Мир математики. т.2. Математики, шпионы и хакеры. Кодирование и криптография

* * *

СКОЛЬКО ТРЕБУЕТСЯ КЛЮЧЕЙ?

Какое минимальное количество ключей необходимо в системе с двумя пользователями? Три? Четыре? Для тайного общения двух пользователей друг с другом требуется только один код или ключ. Для трех пользователей необходимы три ключа: один для связи между Аи В, другой — для пары Аи С, а третий — для Ви С. Далее, четырем пользователям потребуется уже шесть ключей.

Таким образом, в общем случае п пользователей должны иметь столько ключей, сколько всего комбинаций пар из п пользователей, а именно:

(n/2)= n∙(n-1)/2

Так, относительно небольшая система из 10000 взаимосвязанных пользователей потребует 49995000 ключей. Для населения земного шара из шести миллиардов людей потребуется головокружительное количество: 17999999997000000000.

* * *

Общее правило шифрования называется алгоритмом шифрования, в то время как определенный параметр, используемый для шифрования или кодирования сообщений, называется ключом. (В примере шифрования со словом «АТАКА» на странице 10 ключ равен 2. Каждая буква оригинального сообщения заменяется другой, сдвинутой на две позиции вправо по алфавиту). Очевидно, что для каждого алгоритма шифрования существует большое количество ключей, поэтому знание алгоритма чаще всего бесполезно, если мы не знаем ключ, используемый для шифрования. Так как ключи обычно легче менять и передавать, для обеспечения безопасности системы шифрования логичнее будет постараться сохранить их в тайне. Этот принцип был сформулирован в конце XIX в. нидерландским лингвистом Огюстом Керкгоффсом фон Ниувенгофом и обычно называется принципом Керкгоффса.

Подводя итог вышеизложенному, мы можем изобразить общую систему шифрования в виде следующих элементов:

Таким образом, мы имеем отправителя и получателя сообщения, алгоритм шифрования и определенный ключ, который позволяет отправителю зашифровать сообщение, а получателю — расшифровать его. Позже мы увидим, как эта схема была модифицирована из-за изменившихся в последнее время функций ключа, но пока мы будем придерживаться этой диаграммы.

Закрытые и открытые ключи

Принцип Керкгоффса определяет ключ как основополагающий элемент безопасности любой криптографической системы. До сравнительно недавнего времени ключи у отправителя и получателя во всех известных криптографических системах обязательно были идентичными или по крайней мере симметричными, то есть они использовались как для шифрования, так и для расшифровки сообщений. Ключ, таким образом, был секретом, известным отправителю и получателю, а значит, используемая криптографическая система всегда была уязвимой, так сказать, с обеих сторон. Этот тип шифрования, который зависит от ключа, известного отправителю и получателю, называется шифрованием с закрытым ключом.

Все криптографические системы, изобретенные человеком с начала времен, независимо от используемого алгоритма и его сложности, имеют эту характерную особенность. Ситуация, когда и получатель, и отправитель имеют одинаковый ключ, вроде бы отвечает здравому смыслу. В конце концов, как может один человек шифровать сообщение одним ключом, а второй — расшифровать это же сообщение другим ключом, надеясь, что смысл текста не изменится? На протяжении тысячелетий эта возможность считалась логическим абсурдом. Однако, как мы более подробно увидим позже, всего пять десятилетий назад этот абсурд стал реальностью и теперь повсеместно используется в шифровании.

В настоящее время алгоритмы шифрования, используемые в системах связи, состоят как минимум из двух ключей: тайный закрытый, как это уже было принято, и открытый, известный всем. Процесс передачи информации выглядит так: отправитель использует для шифрования открытый ключ получателя, которому он хочет отправить сообщение. Получатель использует свой закрытый ключ для расшифровки полученного сообщения. Более того, эта система обладает чрезвычайно важным дополнительным преимуществом: отправителю и получателю не нужно встречаться заранее, чтобы договориться об используемых ключах, поэтому безопасность системы стала более надежной, чем это было возможно раньше. Эта совершенно революционная форма шифрования известна как шифрование с открытым ключом, и именно она обеспечивает безопасность современных коммуникационных сетей.

В основе этой революционной технологии лежит математика. В действительности, как мы позже подробнее поясним, современная криптография зиждется на двух столпах. Первый — модульная арифметика, а второй — теория чисел, в частности, ее раздел, изучающий простые числа.